[論文レビュー] The Harary index of trees

Aleksandar Ilić, Guihai Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、最短路距離の逆数に基づくトポロジカルグラフ不変量であるハラリー指数を、木構造において調査し、部分順序を確立し、さまざまな制約下での最大・最小インデックスを示す極値木を同定する。本稿は、ハラリー指数が最大である木とウィーナー指数が最小である木が、複数の構造的パラメータにおいて完全に一致することを証明している。逆に、ハラリー指数が最小である木とウィーナー指数が最大である木も一致する。

ABSTRACT

The Harary index of a graph G is recently introduced topological index, defined on the reverse distance matrix as H(G) = P u,v2V (G) 1 d(u,v) , where d(u,v) is the length of the shortest path between two distinct vertices u and v. We present the partial ordering of starlike trees based on the Harary index and we describe the trees with the second maximal and the second minimal Harary index. In this paper, we investigate the Harary index of trees with k pendent vertices and determine the extremal trees with maximal Harary index. We also characterize the extremal trees with maximal Harary index with respect to the number of vertices of degree two, matching number, independence number, domination number, radius and diameter. In addition, we characterize the extremal trees with minimal Harary index and given maximum degree. We concluded that in all presented classes, the trees with maximal Harary index are exactly those trees with the minimal Wiener index, and vice versa.

研究の動機と目的

• ハラリー指数に基づくスターライク木の部分順序を確立すること。
• すべての木の中で第二に高いおよび第二に低いハラリー指数を達成する木を同定すること。
• 終点頂点数の制約下での最大ハラリー指数を示す極値木を特定すること。
• 直径、半径、マッチング数、独立数、支配数などの構造的パラメータに関して、最大ハラリー指数を示す極値木を特徴付けること。
• 最大次数の制約下での最小ハラリー指数を示す極値木を同定すること。

提案手法

• 木におけるすべての頂点対の最短路距離の逆数の和としてハラリー指数を定義する：H(G) = Σ_{u,v∈V(G), u≠v} 1/d(u,v)。
• 距離分布および頂点次数構成に基づいて木を比較するための構造的グラフ理論的手法を適用する。
• 与えられた制約下でハラリー指数を最大または最小化する木を同定するため、極値グラフ理論を用いる。
• ハラリー指数とウィーナー指数の双対性を確立する。具体的には、ハラリー指数が最大である木が、ちょうどウィーナー指数が最小である木と一致することを証明する。逆に、ハラリー指数が最小である木がウィーナー指数が最大である木と一致することも証明する。
• 中心路と末端頂点からなるスターライク木を、再帰的距離分解と対称性の議論を用いて分析する。
• 次数列、末端頂点数、構造的不変量でパrameter化された木の族に対して、組合せ最適化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての木の中で第二に高いハラリー指数を達成する木はどれか？
• RQ2 すべての木の中で第二に低いハラリー指数を達成する木はどれか？
• RQ3 末端頂点数が固定されたとき、最大ハラリー指数を示す木の構造は何か？
• RQ4 直径、半径、マッチング数、独立数、支配数に関して、最大ハラリー指数を示す極値木はどのように変化するか？
• RQ5 最大次数が制限されたとき、最小ハラリー指数を示す木の構造は何か？

主な発見

• すべての考察された構造的制約下で、ハラリー指数が最大である木は、ウィーナー指数が最小である木と完全に一致する。
• 同じ制約下で、ハラリー指数が最小である木は、ウィーナー指数が最大である木と完全に一致する。
• k個の末端頂点をもつ木において、最大ハラリー指数を示す極値木は一意に特徴付けられ、特定の次数分布と経路構造に対応する。
• 最大次数が与えられたとき、最小ハラリー指数を示す極値木は同定され、制御された分岐構造を持つキャタピラーに類似した構造であることが示された。
• ハラリー指数に基づくスターライク木の部分順序は完全に決定されており、極値構成は次数分布と経路の対称性によって特定可能である。
• ハラリー指数とウィーナー指数の双対性は、調査されたすべての木のクラスに普遍的に成立し、極値挙動における深い構造的同等性を示している。