[논문 리뷰] The Hawaiian earring group is topologically incomplete

Paul Fabel|ArXiv.org|2005. 02. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히awaiian earring의 기본군이 쟁점이 되는 몰입 위상 또는 역극한 위상으로 장비되었을 때, 기하학적으로 완전하고 비가산이지만 바이어르 공간이 아니라는 것을 보여준다. 핵심 결과는 이 군이 그 위상과 호환되는 완전한 거리 구조를 가질 수 없다는 것이며, 이는 페아노 연속체의 위상적 기본군에서의 거리화 가능성과 완전성에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

The premier exhibition of the following phenomenon: The fundamental group of any Peano continuum constructed in similar fashion to the Hawaiian earring admits two natural distinct topological group structures. However despite being uncountable and regular, neither group is a Baire space and hence neither group admits a compatible complete metric.

연구 동기 및 목표

• 히awaiian earring의 기본군의 위상적 구조를 분석한다. 이는 국소 수축 불가능한 페아노 연속체의 표준적인 예이다.
• 히awaiian earring의 위상적 기본군이 그 위상과 호환되는 완전한 거리 구조를 가질 수 있는지 여부를 규명한다.
• 이 군이 두 가지 자연스러운 위상 중 하나인, 고리에서 유도된 몰입 위상 또는 역극한 위상에서 바이어르 공간이 아니라는 것을 입증한다.
• 특히 그 위상에서의 연속 체계 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$의 위상적 성질을 명확히 하며, 그것이 위상동형이 아니라는 점을 분석한다.
• 비단 이론적 기준을 제공하기 위해, 비이산 위상을 가진 가장 단순한 비자명한 예를 분석함으로써, 향후 위상적 기본군 이론 연구의 기초를 마련한다.

제안 방법

• 논문은 각각 $n$개의 고리를 한 점에서 붙인 유한한 원의 병합 $X_n$들의 역극한으로서 히awaiian earring를 구성한다.
• 기반점이 있는 고리들의 공간에서 유도된 몰입 위상에 의해 $\pi_1(HE,p)$에 위상군의 구조를 정의한다.
• 각 원소의 기약 표현에서 비자명한 셀의 수를 세는 함수 $\sigma: \varprojlim \pi_1(X_n,p) \to \naturals$를 도입한다.
• 각 전이 $\sigma^{-1}(K)$가 역극한 공간에서 닫혀 있고 내부가 비어 있음을 증명함으로써, 이 공간이 바이어르 공간이 아니라는 것을 유도한다.
• 이 결과를 기반으로 기저 체계 $\phi$의 연속성과 함께 $\pi_1(HE,p)$로 옮기며, $\phi^{-1}(\sigma^{-1}(K))$가 닫혀 있고 내부가 비어 있음을 보인다.
• 바이어르 카테고리 정리를 적용하여, $\pi_1(HE,p)$와 그 $\phi$에 의한 상이 모두 완전한 거리 구조를 지닐 수 없음을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히awaiian earring의 위상적 기본군은 그 위상과 호환되는 완전한 거리 구조를 가질 수 있는가?
• RQ2 기본 체계 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$는 그 상에 위상동형인가?
• RQ3 페아노 연속체의 위상적 기본군은 자연스러운 위상에서 기하학적으로 비가산이면서도 바이어르 공간이 아니게 될 수 있는가?
• RQ4 체계 $\phi$가 위상동형이 아니라는 사실은 $\pi_1(HE,p)$가 거리화 가능하지 않다는 것을 의미하는가?
• RQ5 위상적 기본군 $\pi_1(HE,p)$가 바이어르 공간이 아니라는 것이 호모토피 이론에서 리트랙 이론에 미치는 위상적 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 히awaiian earring 군 $\pi_1(HE,p)$는 몰입 위상 또는 역극한 위상에서 바이어르 공간이 아니다.
• 기본 체계 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$는 연속이지만, 그 상에 위상동형이 아니다.
• $\phi$의 상은 기하학적으로 비가산 개의 닫힌 집합들의 합집합이면서 내부가 비어 있으므로 바이어르 공간이 아니다.
• $\pi_1(HE,p)$ 내에서 각 전이 $\phi^{-1}(\sigma^{-1}(K))$는 닫혀 있고 내부가 비어 있으므로, 군이 바이어르 공간이 아니라는 것을 증명한다.
• 결과적으로, $\pi_1(HE,p)$는 그 위상과 호환되는 완전한 거리 구조를 가질 수 없다.
• 이 결과는 히awaiian earring가 그 기본군이 완전한 거리 구조를 가진 어떤 공간의 리트랙이 될 수 없다는 것을 암시한다.