[論文レビュー] The Hitting Times with Taboo for a Random Walk on an Integer Lattice

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Z^d 上の対称的かつ既約的なランダムウォークに対して、禁忌状態 z を避けて標的状態 y に到達するまでの hitting time を分析している。初期状態が x である場合、z を禁忌状態としたときに y に到達する確率に注目する。d ≥ 2（Z 上の単純ランダムウォークを除く）の場合、hit time の尾部減衰は次元 d のみに依存する。一方、Z 上の単純ランダムウォークでは、減衰率および生存確率が x, y, z の相対的位置に強く依存する。

ABSTRACT

For a symmetric, homogeneous and irreducible random walk on d-dimensional integer lattice Z^d, having zero mean and a finite variance of jumps, we study the passage times (with possible infinite values) determined by the starting point x, the hitting state y and the taboo state z. We find the probability that these passages times are finite and analyze the tails of their cumulative distribution functions. In particular, it turns out that for the random walk on Z^d, except for a simple (nearest neighbor) random walk on Z, the order of the tail decrease is specified by dimension d only. In contrast, for a simple random walk on Z, the asymptotic properties of hitting times with taboo essentially depend on the mutual location of the points x, y and z. These problems originated in our recent study of branching random walk on Z^d with a single source of branching.

研究の動機と目的

• Z^d 上の対称的かつ既約的なランダムウォークが初期状態 x から出発し、禁忌状態 z を避けて状態 y に到達する確率を特徴付けること。
• t → ∞ のときの生存関数 Hx,y,z(t) = P(T_{x,y,z} > t) の漸近的挙動、特に Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) の減衰率を分析すること。
• 禁忌付き到達時間がほとんど確実に有限である、または正の確率で有限であるような条件を同定すること。
• 一般のランダムウォーク（d ≥ 2）と Z 上の単純ランダムウォークという特殊ケースの挙動の違いを明確にすること。
• 原点に単一の分岐源を持つ分岐ランダムウォークにおける粒子軌道を理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 禁忌到達時間 Hx,y,z(t) を、初期状態 x から出発し、状態 z を禁止した場合の y への最初の通過時間の累積分布関数として定義する。
• ランダムウォークを連続時間マコフ連鎖の生成作用素 A を用いてモデル化し、対称性、一様性、既約性、およびジャンプの分散が有限であるという仮定を置く。
• 遷移確率のラプラス変換 Gλ(x,y) = ∫₀^∞ e^{-λt} p(t;x,y) dt を用いて漸近的挙動を分析する。
• フーリエ変換および最急降下法を用いて、遷移確率 p(t;x,y) ~ γ_d t^{-d/2} の漸近展開を導出する。
• タウバーアの定理（例：[14] の定理4、第13章、第5節）を用い、λ → 0+ のときのラプラス変換の挙動と Hx,y,z(t) の尾部減衰を関連付ける。
• d ≥ 4 の場合、ラプラス変換式を [d/2]−1 回微分し、漸近的オーダーを比較して主要項を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 禁忌状態 z を避けて y に到達するまでの到達時間が有限である確率、すなわち Hx,y,z(∞) ∈ [0,1] である確率は何か？
• RQ2 異なる次元 d に対して、P(T_{x,y,z} > t) の減衰率は t → ∞ のときどのように振る舞うか？
• RQ3 なぜ Z 上の単純ランダムウォークは、高次元のランダムウォークとは根本的に異なる漸近的挙動を示すのか？
• RQ4 1次元の場合に、x, y, z の相対的位置が生存確率および減衰率にどのように影響するか？
• RQ5 Green 関数 G₀(x,y) は、禁忌付き到達時間の漸近的挙動を決定づける役割を果たすのか？

主な発見

• d ≥ 3 の場合、一般の対称的ランダムウォークにおいて、禁忌付き到達時間の尾部は t^{-(d+1)/2} のオーダーで減衰し、x, y, z に依存しない。Hx,y,z(∞) ∈ (0,1) である。
• d = 2 の場合、尾部減衰は対数的である：t → ∞ のとき Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) ∼ C / log t であり、C > 0 は x, y, z に依存する。
• d = 1 の場合、減衰率および生存確率 Hx,y,z(∞) は x, y, z の相対的位置に強く依存する。例えば、x と y が符号を異にする場合、Hx,y,0(∞) = 0 である。
• Z 上の単純ランダムウォークにおいて、0 < x < y または y < x < 0 のとき、減衰は指数的である：ある ε > 0 に対して Hx,y,0(∞) − Hx,y,0(t) ≤ e^{-εt} が成り立つ。
• 1次元において x < 0 < y または y < 0 < x のとき、すべての t に対して Hx,y,0(t) ≡ 0 であるため、生存確率は0であり、減衰は自明である。
• d ≥ 4 の場合、Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) の漸近的挙動は、ラプラス変換の [d/2]−1 階微分によって決定され、ラプラス変換差の展開における最初の項が主寄与を占める。