[논문 리뷰] The homotopy theory of diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 미분구조공간에 대한 호모토피 이론을 미분가능한 단체 복합체의 구성 방법을 통해 수립하며, 피브란트인 미분구조공간이 그들의 단체 호모토피 군을 통해 미분가능한 호모토피 데이터를 포착함을 보여준다. 이는 고전적인 다양체의 미분호모토피 이론을 일반화하고 Iglesias-Zemmour의 미분구조공간에 대한 번들의 이론을 확장하며, 다양체의 루프 공간이 피브란트임을 증명하고, 함의적이고 계약된 코프리프레젠테이션을 제공한다.

ABSTRACT

Diffeological spaces are generalizations of smooth manifolds. In this paper, we study the homotopy theory of diffeological spaces. We begin by proving basic properties of the smooth homotopy groups that we will need later. Then we introduce the smooth singular simplicial set $S^D(X)$ associated to a diffeological space $X$, and show that when $S^D(X)$ is fibrant, it captures smooth homotopical properties of $X$. Motivated by this, we define $X$ to be fibrant when $S^D(X)$ is, and more generally define cofibrations, fibrations and weak equivalences in the category of diffeological spaces using the smooth singular simplicial set functor. We conjecture that these form a model category structure, but in this paper we assume little prior knowledge of model categories, and instead focus on concrete questions about smooth manifolds and diffeological spaces. We prove that our setup generalizes the naive smooth homotopy theory of smooth manifolds by showing that a smooth manifold without boundary is fibrant and that for fibrant diffeological spaces, the weak equivalences can be detected using ordinary smooth homotopy groups. We also show that our definition of fibrations generalizes Iglesias-Zemmour's theory of diffeological bundles. We prove enough of the model category axioms to show that every diffeological space has a functorial cofibrant replacement. We give many explicit examples of objects that are cofibrant, not cofibrant, fibrant and not fibrant, as well as many other examples showing the richness of the theory. For example, we show that the free loop space of a smooth manifold is fibrant. One of the implicit points of this paper is that the language of model categories is an effective way to organize homotopical thinking, even when it is not known that all of the model category axioms are satisfied.

연구 동기 및 목표

• 미분구조공간에 대한 호모토피 이론을 개발하여 다양체의 고전적 미분호모토피 이론을 일반화한다.
• 미분가능한 단체 복합체 함의자 $ S^D(X) $를 사용하여 피브란트, 코프리프레젠테이션, 약한 동치인 미분구조공간을 정의한다.
• 모델 카테고리 유사 프레임워크 내에서 Iglesias-Zemmour의 미분구조공간 번들의 이론을 확장한다.
• 경계가 없는 미분다양체가 피브란트이며, 그들의 호모토피 군이 약한 동치를 식별함을 보인다.
• 피브란트와 비피브란트 공간의 구체적 예를 제시하며, 루프 공간과 몫공간을 포함한다.

제안 방법

• 미분구조공간 $ X $ 에 대해 비유한 $ n $-단체 $ Δ^n $ 에서의 미분가능한 사상의 집합으로서 $ S^D(X) $ 를 정의하여 단체 복합체를 형성한다.
• 표준적인 단체 복합체의 모델 구조에서 $ S^D(X) $ 가 피브란트인 경우에 해당하는 미분구조공간을 피브란트로 정의한다.
• 미분가능한 단체 복합체 함의자를 통해 약한 동치와 피브레이션을 정의하여, 미분다양체와 번들의 고전적 개념을 일반화한다.
• 단체 복합체의 모델 카테고리 언어를 사용하여 코프리프레젠테이션과 코프리프레젠테이션의 존재를 정의하고, 함의적 코프리프레젠테이션의 존재를 증명한다.
• 사슬의 규칙을 적용하고 편미분을 계산하여, 음이 아닌 실수값 함수로 들어가는 미분가능한 사상의 분석을 수행하며, 이로 인해 비피브란트임을 증명하는 모순을 이끌어낸다.
• 미분가능한 재접합과 몫 미분구조를 사용하여, $ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $, $ \mathbb{R}^n / O(n) $, 그리고 유한군 작용에 의한 궤도 공간과 같은 공간들이 피브란트가 아님을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분가능한 단체 복합체 $ S^D(X) $ 가 미분구조공간 $ X $ 의 미분호모토피 군을 언제 포착하는가?
• RQ2 경계가 없는 미분다양체는 제안된 호모토피 이론에서 피브란트인가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 Iglesias-Zemmour의 미분구조공간 번들의 이론을 일반화하는가?
• RQ4 피브란트인 미분구조공간 간의 약한 동치는 일반적인 미분호모토피 군으로 감지될 수 있는가?
• RQ5 어느 몰입 또는 특이 공간들이 피브란트가 아니며, 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 경계가 없는 미분다양체는 피브란트이며, 이러한 공간들에 대해서는 약한 동치가 일반적인 미분호모토피 군에 의해 감지된다.
• 미분다양체의 자유 루프 공간과 기저 루프 공간은 모두 피브란트인 미분구조공간이다.
• 미분가능한 단체 복합체 $ S^D(X) $ 가 피브란트일 조건은 그 단체 호모토피 군이 $ X $ 의 미분호모토피 군과 일치할 때이며, 이는 정리 4.11에서 증명되었다.
• 경계나 모서리가 있는 다양체와 같이 $ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $ 이 $ D $-열린 부분공간으로 포함된 공간들은 피브란트가 아니다.
• $ \mathbb{R}^n / O(n) $ 의 궤도 공간은 특정한 미분구조를 지닌 $ [0,\infty) $ 와 미분구조적으로 동치이며, 피브란트가 아니다.
• $ X_\infty = \varinjlim X_n $ 인 쌍대극한은 피브란트가 아니며, 그 미분구조는 $ \mathbb{R} $ 의 부분미분구조와 다르다.