[論文レビュー] The homotopy type of the cobordism category

Søren Galatius, Ib Madsen+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、埋め込みd次元コボルディズム圏の分類空間とMTO(d)スペクトルの無限ループ空間の間で弱ホモトピー同値を確立し、コボルディズム圏のホモトピー論的分類を提供する。主な結果は、d=2における一般化された Mumford 猜測を一般化し、ホモトピー論的手法と層論的技法を用いた新しい証明を提示する。

ABSTRACT

The embedded cobordism category under study in this paper generalizes the category of conformal surfaces, introduced by G. Segal in order to formalize the concept of field theories. Our main result identifies the homotopy type of the classifying space of the embedded d-dimensional cobordism category for all d. For d=2, our results lead to a new proof of the generalized Mumford conjecture, somewhat different in spirit from the original one.

研究の動機と目的

• すべてのdについて、埋め込みd次元コボルディズム圏の分類空間のホモトピー型を特定すること。
• 埋め込みコボルディズムを用いて、Segalの conformal 表面圏を高次元に一般化すること。
• コボルディズム圏の分類空間とMTO(d)スペクトルの無限ループ空間の間で弱ホモトピー同値を確立すること。
• 層論的およびパラメータ付き手術技法を用いて、d=2 における一般化された Mumford 猜測の新しいホモトピー論的証明を提供すること。
• 写像類群の安定性定理（Harer型）を、接構造を備えたコボルディズム圏の文脈に拡張すること。

提案手法

• R^{n+d-1} × [a0,a1] 内の境界付き埋め込み多様体としての対象と射を備えた、位相的圏としての埋め込みコボルディズム圏 C_d を構成する。
• 正規バンドルの分類写像と Pontrjagin-Thom の衝突写像を用いて、C_d から Ω^{∞−1}MT O(d) のパス圏への函手を定義する。
• Phillips の部分写像定理を用いて、埋め込みの空間をモデル化し、それらを Thom スペクトル MT O(d) と関連付ける。
• 層論的技法とホモロジー同値なコロイム構成を用いて、分類空間のホモトピー型を分析する。
• パラメータ付き手術とホモロジー同値な四角形を用いて、関連するファイブレーションのファイバー間のホモロジー同型を確立する。
• 写像類群の Harer 型安定性定理を活用し、ホモロジー上の誘導写像が安定範囲で同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のdについて、埋め込みd次元コボルディズム圏の分類空間のホモトピー型は何か？
• RQ2 埋め込みコボルディズム圏は、MTO(d) スペクトルの無限ループ空間とどのように関係するか？
• RQ3 d=2 における一般化された Mumford 猜測は、ホモトピー論的および層論的手法を用いて再証明可能か？
• RQ4 コボルディズムに付随する接構造は、分類空間のホモトピー型にどの程度の影響を及ぼすか？
• RQ5 パラメータ付き手術は、コボルディズム圏におけるファイバーごとの構成の間のホモトピー同値を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 写像 α: B𝒞_d → Ω^{∞−1}MT O(d) は弱ホモトピー同値であり、埋め込みコボルディズム圏の分類空間のホモトピー型が確立される。
• d=2 の場合、結果は一般化された Mumford 猜測の新しい証明を提供し、ℤ × BΓ_∞,n と Ω^∞MT(2)^+ の間のホモロジー同値性を示す。
• 分類空間 B𝒞_d が、MTO(d) スペクトルの無限ループ空間とホモトピー同値であることが示され、これはグラスマン多様体上の直交補空間バンドルのチョン・スケールの直和極限としてのチョン空間の直接極限である。
• 証明は、関連する函手がパス圏へと写す際にホモロジー同値な四角形であることを示すことにより、セレのファイブレーションと安定な曲面族のホモトピーコロイムを用いる。
• 生成数が増加する曲面の系列と整合性を持つθ構造を用いて、写像類群のホモロジーを安定化する。
• 主な技術的革新は、ループ空間構造をモデル化するための関手 F_i(c) = 𝒞_θ,∂(c, b_i) のホモトピーコロイムの使用であり、その結果得られる極限空間は、望ましい無限ループ空間とホモトピー同値である。