[論文レビュー] The Independent Domination Polynomial

Markus Dod|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、独立支配集合（頂点が互いに非隣接であり、他のすべての頂点がその集合に隣接するような部分集合）を数える通常型母関数としての独立支配多項式を導入する。主な貢献は、パス、サイクル、完全二部グラフ、およびコロナや結合といったグラフ積を含む特殊なグラフクラスにおける再帰的関係と閉形式表現の確立に加え、成分ごとの乗法性や r-拡張における不変性を含む構造的性質の同定である。

ABSTRACT

A vertex subset $W\subseteq V$ of the graph $G=(V,E)$ is an independent dominating set if every vertex in $V\backslash W$ is adjacent to at least one vertex in $W$ and the vertices of $W$ are pairwise non-adjacent. The independent domination polynomial is the ordinary generating function for the number of independent dominating sets in the graph. We investigate in this paper properties of the independent domination polynomial and some interesting connections to well known counting problems.

研究の動機と目的

• グラフにおける独立支配集合の生成関数としての独立支配多項式を形式化し、分析すること。
• 多項式の構造的性質を確立すること。特に、グラフの成分における乗法性や、グラフ演算における挙動に関する性質。
• パス、サイクル、完全二部グラフ、およびグラフ積といった特殊なグラフクラスにおける多項式の再帰的関係と閉形式表現を導出すること。
• 独立支配多項式と他のグラフ多項式（独立多項式や全支配多項式など）との関係を調査すること。
• カーテシアン積などの追加のグラフ積における多項式の挙動に関する未解決問題を同定すること。

提案手法

• 独立支配多項式を、$x^k$ の係数がサイズ $k$ の独立支配集合の数を表す通常型母関数として定義する。
• 互いに素なグラフ成分における多項式の乗法性を証明する。
• 辺の削除や頂点の近傍演算における多項式の再帰的関係を確立する。
• パス $P_n$ とサイクル $C_n$ における多項式の閉形式表現を、有効な頂点配置の組み合わせ的数え上げによって導出する。
• コロナ、結合、r-拡張といったグラフ演算を用いて、合成グラフの多項式とその成分の多項式との関係を表す関数方程式を導出する。
• 既知の独立多項式や全支配多項式に関する結果を活用し、独立支配多項式の恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立支配多項式は、コロナ、結合、r-拡張といったグラフ演算においてどのように振る舞うか。
• RQ2 頂点または辺の変更を用いた独立支配多項式の再帰的関係は導出可能か。
• RQ3 パス、サイクル、完全二部グラフといった標準的グラフ族における独立支配多項式の閉形式表現は存在するか。
• RQ4 独立支配多項式は、独立多項式や全支配多項式といった他のグラフ多項式とどのように関係しているか。
• RQ5 乗法性や拡張における不変性といった構造的性質は、さまざまなグラフクラスに一般化可能か。

主な発見

• 独立支配多項式は、互いに素なグラフ成分において乗法的である：$\mathop{\mathrm{D}_i}(G,x) = \mathop{\mathrm{D}_i}(G_1,x)\mathop{\mathrm{D}_i}(G_2,x)$（$G = G_1 \cup G_2$ のとき）。
• コロナ $G \circ H$ に対して、多項式は $\mathop{\mathrm{D}_i}(G \circ H,x) = \mathop{\mathrm{D}_i}(H,x)^n \mathop{\mathrm{I}}\left(G, \frac{x}{\mathop{\mathrm{D}_i}(H,x)}\right)$ を満たす。ここで $n = |V(G)|$ である。
• 完全二部グラフ $K_{p,q}$ に対して、多項式は $\mathop{\mathrm{D}_i}(K_{p,q},x) = x^p + x^q$ である。これは、支配集合として片方の側のみが完全に支配可能であることを反映している。
• パス $P_n$ に対して、多項式は再帰関係 $\mathop{\mathrm{D}_i}(P_n,x) = x\mathop{\mathrm{D}_i}(P_{n-2},x) + x\mathop{\mathrm{D}_i}(P_{n-3},x)$ を満たし、初期条件は $\mathop{\mathrm{D}_i}(P_1,x) = x$、$\mathop{\mathrm{D}_i}(P_2,x) = 2x$、$\mathop{\mathrm{D}_i}(P_3,x) = x^2 + x$ である。
• パス $P_n$ に対して明示的な閉形式表現 $\mathop{\mathrm{D}_i}(P_n,x) = \sum_{k=1}^{\lfloor(n+3)/2\rfloor} \binom{k+1}{n-2k+1} x^k$ が得られ、これは支配頂点の配置の組み合わせ的数え上げから導出されたものである。
• サイクル $C_n$（$n \geq 7$）に対して、多項式は $\mathop{\mathrm{D}_i}(C_n,x) = 2x\mathop{\mathrm{D}_i}(P_{n-3},x) + x^2\mathop{\mathrm{D}_i}(P_{n-6},x)$ を満たし、これは循環的配置における構造的制約を反映している。