[論文レビュー] The index bundle for Fredholm morphisms

Nils Waterstraat|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、固定されたバナッハ空間上のフレームワークのフリードホルム作用素に対する古典的インデックスバンドル構成を、コンパクトな基底空間上のバナッハバンドル間のフリードホルム準同型へ拡張する。バナッハバンドル理論の高度な道具——特に、常に非ゼロの連続切断の存在——を用いて、K理論における仮想バンドルを定義し、一般化されたアティヤ＝ヤニッチ系列における正確性を証明し、1階常微分方程式の境界値問題にこの構成を適用する。その結果、コンパクト作用素を法とする可逆性が、K理論における関連する部分バンドルの自明性と同値であることが示された。

ABSTRACT

We extend the index bundle construction for families of bounded Fredholm operators to morphisms between Banach bundles.

研究の動機と目的

• 固定されたバナッハ空間上のフリードホルム作用素の族に対するアティヤ＝ヤニッチインデックスバンドル構成を、固定された基底空間上のバナッハバンドル間のフリードホルム準同型へ一般化すること。
• 変化する終域バンドルに起因する技術的困難を、バナッハバンドルに関する深い結果——特に連続切断の存在——を活用することで解決すること。
• フリードホルム準同型に対するインデックスバンドルがK理論においてwell-definedな要素として定義可能であることを確立し、その形式的性質を証明すること。
• バンドルが自明（積バンドル）である場合に、インデックスバンドルが古典的定義と一致することを示すこと。
• コンパクト空間上のバナッハバンドル間のフリードホルム準同型に対して、一般化されたアティヤ＝ヤニッチ系列の正確性を証明し、その理論をパラメータ依存境界条件をもつ1階常微分方程式の族に応用すること。

提案手法

• 無限次元バナッハバンドルにおける常に非ゼロの連続切断の存在を用いて、局所的自明化を構成し、終域バンドルの複雑さに対処する。
• 射影的自己準同型と補完可能部分バンドルの理論を適用し、フリードホルム準同型の核と像が直和部分バンドルをなすことを保証する。
• フリードホルム準同型 $ L: \mathcal{E} \to \mathcal{F} $ のインデックスバンドルを $ K(X) $ の要素として定義し、古典的フリードホルムインデックスを一般化する。
• フリードホルム準同型のホモトピー上昇性質を用いて、インデックスバンドルとコンパクト作用素を法とする可逆性との関係を確立する。
• 各点 $ x \in X $ に対してコンパクト作用素の族 $ K_x $ を構成し、$ L_{B_x} + K_x $ が可逆であることとインデックスバンドルがゼロであることとが同値であることを示す。
• インデックスバンドルの計算 $ \operatorname{ind}\tilde{L} = [\mathcal{V}] - [\Theta(\mathbb{K}^n)] $ を用いて、コンパクト作用素を法とする可逆性の問題を、部分バンドル $ \mathcal{V} \subset \Theta(\mathbb{K}^{2n}) $ の安定的自明性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたバナッハ空間上のフリードホルム作用素の族に対する古典的インデックスバンドル構成を、全空間が変化するバナッハバンドル間のフリードホルム準同型へ拡張することは可能か？
• RQ2 フリードホルム準同型の核と像が直和部分バンドルをなすために必要な位相的および解析的条件は何か？
• RQ3 バナッハバンドル間のフリードホルム準同型に対して、K(X) にwell-definedなインデックスバンドルが存在するか？ また、期待される形式的性質を満たすか？
• RQ4 コンパクト空間上のバナッハバンドル間のフリードホルム準同型に対して、一般化されたアティヤ＝ヤニッチ系列は正確性を保つか？
• RQ5 パラメータ依存境界条件をもつ1階常微分方程式の族が、コンパクト作用素を法として可逆であるための条件は何か？

主な発見

• 任意のコンパクト基底空間上のバナッハバンドル間のフリードホルム準同型 $ L: \mathcal{E} \to \mathcal{F} $ に対して、インデックスバンドル $ \operatorname{ind}L \in K(X) $ がwell-definedに定義され、古典的構成が拡張された。
• インデックスバンドルが $ K(X) $ でゼロであることと、準同型 $ L $ がバンドル同相にホモトープであることとは同値である。
• バンドルが自明（$ \mathcal{E} = \mathcal{F} = X \times E $）である場合に、インデックスバンドル構成は古典的インデックスバンドルを回復し、既知の結果と整合することが確認された。
• 一般化されたアティヤ＝ヤニッチ系列は正確である：$ 1 \to [X, \mathrm{GL}(\mathcal{E})] \xrightarrow{\iota} [X, \mathcal{BF}(\mathcal{E}, \mathcal{F})] \xrightarrow{\operatorname{ind}} K(X) \to 1 $、ただし $ \mathrm{GL}(\mathcal{E}) $ が収縮可能であると仮定する。
• 境界条件が部分バンドル $ \mathcal{V} \subset \Theta(\mathbb{K}^{2n}) $ で定義される1階常微分方程式の族に対して、$ L_{B_x} + K_x $ が可逆となる連続的コンパクト作用素族 $ K_x $ が存在するための必要十分条件は、$ \mathcal{V} $ が安定的に自明であることである。
• 関連する準同型 $ \tilde{L}: \mathfrak{D} \to \Theta(L^p(I, \mathbb{K}^n)) $ のインデックスバンドルは $ \operatorname{ind}\tilde{L} = [\mathcal{V}] - [\Theta(\mathbb{K}^n)] \in K(X) $ と与えられ、これは $ \mathcal{V} $ が安定的に自明であるときにかつそのときに限り自明である。