[논문 리뷰] The intrinsic stable normal cone

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 등변 모티빅 스트레스 스테이블 호모토피 범주에서 내재된 안정 정규 쌍봉을 구성함으로써, 임의의 모티빅 코homology 이론에 대해 왜곡된 보어-무어 호모로지에서 가상 기본류의 정의를 가능하게 한다. 이는 베르렌드-판테치의 가상 기본류를 모티빅 호모토피 이론으로 일반화하며, 카우프만 군과 같이 고전적인 불변량들을 복구하고 헤르미티안 K-이론 및 카우프만-위트 이론과 같은 방향성 이론으로 확장한다.

ABSTRACT

We construct an analog of the intrinsic normal cone of Behrend-Fantechi in the equivariant motivic stable homotopy category over a base-scheme B and construct a fundament class in E-cohomology for any cohomology theory E in SH(B). For affine B, a perfect obstruction theory gives rise to a virtual fundamental class in a twisted Borel-Moore E-homology for arbitrary E. This includes motivic cohomology (homotopy invariant) K-theory algebraic cobordism and the oriented Chow groups of Barge-Morel and Fasel. In the case of motivic cohomology, we recover the constructions of Behrend-Fantechi, with values in the Chow group.

연구 동기 및 목표

• 알제브라적 코버드리즘과 카우프만 군을 초월하여 임의의 모티빅 코homology 이론으로 가상 기본류의 구성 확장을 위해.
• 알제브라적 코버드리즘과 같이 일반적인 모티빅 코homology 이론에서 기본류가 존재하지 않는다는 한계를 극복하기 위해.
• 모티빅 스트레스 스테이블 호모토피 이론에서 수형 불변량을 위한 호모토피 이론적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 스택 이론적 기초가 필요로 하지 않는 등변 모티빅 스트레스 스테이블 호모토피 이론의 맥락에서 베르렌드-판테치 구성의 일반화를 위해.
• 비판적 위치의 경우 A1-국소도를 통해 고전적인 불변량인 카우프만 군의 차수와 GW(k)-값 불변량을 복구하기 위해.

제안 방법

• G-준프로젝티브 B-스킴에 대해 등변 모티빅 스트레스 스테이블 호모토피 범주 $\mathrm{SH}^G(B)$ 내에서 $\mathfrak{C}^{st}_Z$로 내재된 안정 정규 쌍봉을 구성한다.
• 모티빅 구면 스펙트럼을 사용하여 코호모토피 $\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$ 내에서 기본류 $[\mathfrak{C}^{st}_Z]$를 정의한다.
• 완전한 방해 이론 $[\phi]: E_\bullet \to \mathbb{L}_{Z/B}$에 대해, 왜곡된 보어-무어 호모로지 $\mathbb{S}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$ 내에서 가상 기본류 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}$를 구성한다.
• 모든 모티빅 링 스펙트럼 $\mathcal{E}$로의 클래스 상승을 위해 단위 사상 $\epsilon_\mathcal{E}: \mathbb{S}_B \to \mathcal{E}$를 적용하여 $\mathcal{E}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$ 내에서 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$를 얻는다.
• 호모토피 불변성과 $\mathbb{A}^1$-국소도를 사용하여, 비판적 위치의 경우 가상 클래스의 푸시포워드가 맵의 $\mathbb{A}^1$-도수와 일치함을 식별한다.
• 선택의 독립성을 보장하기 위해 Proposition 7.2를 통해 구성의 잘 정의성을 증명한다. 이는 모티빅 맥락에서 가상 클래스의 잘 정의성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가상 기본류는 카우프만 군을 초월하여 임의의 모티빅 코homology 이론으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 완전한 스택 이론적 프레임워크가 없는 상황에서 내재된 정규 쌍봉 구성은 어떻게 모티빅 스트레스 스테이블 호모토피 이론에 적응될 수 있는가?
• RQ3 $\mathbb{A}^1$-국소도는 모티빅 불변량에서 고전적인 교차 승수를 대체하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 모티빅 맥락에서 가상 기본류는 푸시포워드와 열화에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 매끄러운 스킴 위의 함수의 비판적 위치는 모티빅 코homology에서 가상 기본류로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• 내재된 안정 정규 쌍봉 $\mathfrak{C}^{st}_Z$는 $\mathrm{SH}^G(B)$ 내에서 구성되어 고전적인 내재된 정규 쌍봉에 대한 호모토피 이론적 대체를 제공한다.
• 기본류 $[\mathfrak{C}^{st}_Z]$는 코호모토피 $\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$ 내에 존재하여 이후 가상 클래스의 구성이 가능하다.
• 모든 모티빅 코homology 이론 $\mathcal{E}$에 대해, 가상 기본류 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$는 잘 정의되어 있으며, Proposition 7.2에 의해 선택의 독립성을 보장한다.
• 모든 $\mathcal{E} = H\mathbb{Z}$일 때, 이 구성은 카우프만 군에서 고전적인 가상 기본류를 복구한다.
• 비판적 위치가 0차원일 경우, 가상 클래스의 푸시포워드는 $\mathbb{A}^1$-국소도와 일치한다: $\pi_{Z*}([Z,\partial_f]^{\mathrm{vir}}) = \delta_{\mathbb{A}^1}(\partial f, Z_{\mathrm{red}})$ in $\mathrm{GW}(k)$.
• 함수 $f: \mathbb{A}^n \to \mathbb{A}^1$가 0차원 비판적 위치 $Z$를 가지는 경우, 가상 클래스의 차수는 야코비안 맵의 $\mathbb{A}^1$-도수로 주어지며, 이는 $\mathrm{GW}(k)$-값 불변량을 제공한다.