[论文解读] The inverse Monge-Ampere flow and applications to Kahler-Einstein metrics

Tristan C. Collins, Tomoyuki Hisamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用 14

一句话总结

本文引入了反Monge-Ampère流作为在 $2/\pi\lambda c_1(X)$ 中Kähler度量上的Ding能量泛函的梯度流，其中 $\lambda = \pm 1$，证明了其在长时间存在性，并在典范极化情形（$\lambda = -1$）下收敛至Kähler-Einstein度量，且在Fano情形（$\lambda = 1$）下在K-稳定性假设下弱收敛。在环面Fano流形中，该流的极限与最优 destabilizing 测试配置一致。

ABSTRACT

We introduce the inverse Monge-Ampere flow as the gradient flow of the Ding energy functional on the space of Kahler metrics in $2 πλc_1(X)$ for $λ=\pm 1$. We prove the long-time existence of the flow. In the canonically polarized case, we show that the flow converges smoothly to the unique Kahler-Einstein metric with negative Ricci curvature. In the Fano case, assuming $X$ admits a Kahler-Einstein metric, we prove the weak convergence of the flow to a Kahler-Einstein metric. In general, we expect that the limit of the flow is related with the optimally destabilizing test configuration for the $L^2$-normalized non-Archimedean Ding functional. We confirm this expectation in the case of toric Fano manifolds.

研究动机与目标

• 引入并分析反Monge-Ampère流作为一种研究Kähler-Einstein度量的新几何流。
• 在 $2\pi\lambda c_1(X)$ 中的Kähler度量上建立该流的长时间存在性，其中 $\lambda = \pm 1$。
• 在典范极化情形（$\lambda = -1$）下证明其光滑收敛至Kähler-Einstein度量。
• 在Fano情形（$\lambda = 1$）下，在存在性假设下建立其弱收敛至Kähler-Einstein度量。
• 通过非阿基米德Ding泛函，将流的极限与最优 destabilizing 测试配置联系起来，并在环面Fano流形中得到验证。

提出的方法

• 将反Monge-Ampère流定义为在 $\mathcal{H}$ 空间（即 $2\pi c_1(L)$ 中的Kähler度量空间）上Ding能量泛函的梯度流。
• 利用Ding泛函 $D(\varphi)$ 的变分结构，其变分形式为 $\delta D(\varphi) = \frac{1}{V}\int_X (\delta\varphi)(e^{\rho} - 1)\omega_\varphi^n$。
• 通过 $L^2$ 内积 $\langle f,g\rangle_\varphi = \int_X fg \omega_\varphi^n$ 在 $\mathcal{H}$ 上引入Riemann结构，将流定义为抛物型PDE。
• 利用Ricci-Calabi能量及其单调性分析该流，证明 $\|\sigma(t) - (d+\ell)\|_{L^2(P)}$ 的衰减。
• 利用平衡函数与Jensen不等式（针对凸函数）来控制Ding泛函的衰减速率。
• 应用非阿基米德分析与 $L^2$-归一化的非阿基米德Ding泛函，识别出在环面Fano流形中极限与最优 destabilizing 测试配置的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏K-稳定性的情况下，反Monge-Ampère流能否用于构造Kähler-Einstein度量？
• RQ2 当Kähler-Einstein度量存在时，反Monge-Ampère流在Fano情形下是否收敛至Kähler-Einstein度量？
• RQ3 反Monge-Ampère流的极限是否与非阿基米德Ding泛函的最优 destabilizing 测试配置相关？
• RQ4 在不稳定环面Fano情形下，反Monge-Ampère流的行为如何？其极限具有何种性质？
• RQ5 沿该流的Ricci势的渐近行为如何？是否违反Perelman型估计？

主要发现

• 在 $2\pi\lambda c_1(X)$ 中的Kähler度量空间上，反Monge-Ampère流对 $\lambda = \pm 1$ 均存在所有时间的解。
• 在典范极化情形（$\lambda = -1$）下，流光滑收敛至具有负Ricci曲率的唯一Kähler-Einstein度量。
• 在Fano情形（$\lambda = 1$）下，假设Kähler-Einstein度量存在，则流弱收敛至该度量。
• 在不稳定环面Fano情形下，流的极限对应于最优 destabilizing 测试配置，该结论通过非阿基米德Ding泛函得以识别。
• $L^2$-范数 $\|\sigma(t) - (d+\ell)\|_{L^2(P)}$ 收敛于零，证实了流退化至最优 destabilization。
• 在不稳定情形下，沿流的Ricci势发散至 $-\infty$，表明其不满足Perelman型估计，与Kähler-Ricci流不同。