[論文レビュー] The isomorphism problem for Coxeter groups

Bernhard Mühlherr|ArXiv.org|Jun 28, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、有限生成コクセター群の同型問題についてのサーベイを提供し、ミューリンとハウレットの最近の結果を用いて、それが『反射を保存する』バージョンに還元されることを示している。主な貢献は、2つの予想が成り立つ場合に、同型問題をアルゴリズム的に解ける枠組みを提供することであり、特に $H_3$-部分系が存在しない場合に特に有効である。

ABSTRACT

By a recent result obtained by R. Howlett and the author considerable progress has been made towards a complete solution of the isomorphism problem for Coxeter groups. In this paper we give a survey on the isomorphism problem and explain in particular how the result mentioned above reduces it to its `reflection preserving' version. Furthermore we desrcibe recent developments concerning the solution of the latter.

研究の動機と目的

• コクセター群の同型問題の現状について包括的なサーベイを提供すること。
• ミューリンとハウレットによる最近の進展を用いて、一般の同型問題がどのように『反射を保存する』バージョンに還元されるかを説明すること。
• 特に、角度変形に関する予想とコクセター生成集合のグラフの連結性に関する予想を通じて、反射を保存する同型問題に対する進展を説明すること。
• 2つの主要な予想が成り立つものと仮定して、同型問題に対するアルゴリズム的解決法を提示すること。
• 特に反射を保存する同型と角度変形同型の役割を含め、コクセター群の自己同型群の構造を明確にすること。

提案手法

• ミューリンとハウレットによる反射部分群の有限補完集合に関する結果を用いて、一般の同型問題を反射を保存するバージョンに還元する。
• 自己同型群 $\operatorname{Ref}_S(W)$、すなわち反射を保存する自己同型の群を、同型分類の中心的要素として用いる。
• 鋭角なコクセター生成集合のグラフ $\mathbf{C}$ を分析し、隣接関係がねじれ関係に対応することを用いて、連結性と自己同型構造を研究する。
• グラフ $\mathbf{C}$ が連結であるという予想（予想2）を適用し、これは $\operatorname{Ang}_S(W)$ がすべての反射を保存する同型を生成することを示唆する。
• 正規2部分群と $\mathrm{GL}(n_i,2)$ 群の積に同型な補完部分群をもつ群 $\Omega \leq \widetilde{\Sigma}_S(W)$ の構成を行い、自己同型群に関する構造的予想を支持する。
• 偶数コクセター行列に対する既知の結果を群oids的類似を用いて一般化し、非偶数の場合に対処する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群の同型問題が、どのような条件下でその『反射を保存する』バージョンに還元可能か。
• RQ2 鋭角なコクセター生成集合のグラフ $\mathbf{C}$ は、論文で提唱されたように連結であるか。
• RQ3 特に $H_3$-部分図形が存在する場合に、角度変形群 $\operatorname{Ang}_S(W)$ がコクセター群に類似した形で提示可能か。
• RQ4 すべての削減可能なコクセター系について、$\operatorname{Ref}_S(W)$ に対する補完または有限補完が $\operatorname{Aut}(W)$ 内に存在するか、予想3が示唆するように。
• RQ5 $W$ に $H_3$-部分系が存在しない場合、$\operatorname{Aut}(W)$ の構造はどのようなものか。また、これは同型問題に対するアルゴリズム的解決法を可能にするか。

主な発見

• ミューリンとハウレットによる結果を用いて、コクセター群の同型問題は、有限補完構成を用いて、反射を保存するバージョンに還元可能である。
• $H_3$-部分系を含まないコクセター系では、同型問題は解けることが示され、2つの主要な予想を仮定したもとでアルゴリズムが提示されている。
• 予想2（鋭角生成集合のグラフ $\mathbf{C}$ が連結である）は、角度変形から反射を保存する同型への写像が全射であることと同値である。
• 偶数の場合、群 $\operatorname{Ang}_S(W)$ は、$\mathbf{C}$ 内で隣接する $S$ と交換する対合 $\theta_R$ によって生成され、$\mathbf{C}$ はこの群のカーレイ図となる。
• $\widetilde{\Sigma}_S(W)$、すなわち反射共役類を保存する外部自己同型の群は有限であり、$\operatorname{Aut}(W) = \widetilde{\Sigma}_S(W) \cdot \operatorname{Ref}_S(W)$ が成り立つ。
• 予想3は、$\Omega \leq \widetilde{\Sigma}_S(W)$ が正規2部分群と $\mathrm{GL}(n_i,2)$ 群の積に同型な補完部分群をもつ構造的分解を示唆し、$\operatorname{Ref}_S(W)$ の有限補完を支持する。