[論文レビュー] The Jones polynomial and dessins d'enfant

Oliver T. Dasbach, David Futer+3 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意のリンクのジョーンズ多項式と、リンク射影に関連するデサン・ダンファンのボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式の間の直接的な関係を確立する。高 genus の曲面上に埋め込まれたグラフへの古典的リンク不変量の構成を一般化することで、ジョーンズ多項式がこの一般化されたトゥーティ多項式の特殊化として得られることを示し、交差するリンクに既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Abstract. The Jones polynomial of an alternating link is a certain specializa-tion of the Tutte polynomial of the (planar) checkerboard graph associated to an alternating projection of the link. The Bollobas{Riordan{Tutte polynomial gener-alizes the Tutte plolynomial of planar graphs to graphs that are embedded in closed surfaces of higher genus (i.e. dessins d'enfant). In this paper we show that the Jones polynomial of any link can be obtained from the Bollobas{Riordan{Tutte polynomial of a certain dessin associated to a link projection. We give some applications of this approach. 1.

研究の動機と目的

• 交差するリンクに限定されてきたジョーンズ多項式とチェック・ボードグラフのトゥーティ多項式の間の既知の関係を、すべてのリンクへ拡張すること。
• 任意のリンクのジョーンズ多項式が、リンク射影から構成されたデサン・ダンファンのボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式の特殊化として得られることを示すこと。
• 高 genus の設定へ一般化された古典的リンク不変量を統一的に扱うための埋め込みグラフを用いたフレームワークを提供すること。
• この代数的位相的構成が、絡み目の理論とグラフ多項式への応用をどのように拡張するかを検討すること。

提案手法

• リンク図から得られる曲面上の2色グラフとして、リンク射影からデサン・ダンファンを構成する。
• 埋め込みグラフにボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式を適用し、任意の genus の曲面上のグラフへ一般化された古典的トゥーティ多項式を得る。
• ボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式を特殊化して、元のリンクのジョーンズ多項式を回復する。
• デサンの双対性と埋め込み構造を用いて、特殊化が正しいリンク不変量をもたらすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交差するリンクのジョーンズ多項式は、埋め込みグラフの一般化されたトゥーティ多項式の特殊化として表現可能か？
• RQ2 デサン・ダンファンのボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式は、ジョーンズ多項式のような古典的リンク不変量とどのように関係するか？
• RQ3 表面への埋め込みは、平面射影を超えたチェック・ボードグラフ構成を一般化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 デサン構成は、交差するリンクの既知の平面ケースを、すべてのリンクへどのように拡張するか？

主な発見

• 任意のリンクのジョーンズ多項式は、リンク射影から導かれるデサン・ダンファンのボロバース–ライオーダン–トゥートゥ多項式の特殊化として得られる。
• この構成は、ジョーンズ多項式が平面のチェック・ボードグラフのトゥーティ多項式から生じるという古典的結果を一般化する。
• デサン・ダンファンの使用により、非平面的で高 genus の表面への埋め込みへの不変量の拡張が可能となり、不変量の位相的文脈が豊かになる。
• 本手法は、埋め込みグラフ多項式を通じたリンク不変量の研究のための新しい代数的位相的フレームワークを提供する。