[論文レビュー] The Killing tensors on an $n$ -dimensional manifold with $SL(n, R)$-structure

С. Е. Степанов, Irina Tsyganok|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、等長的 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造を備えた $n$ 次元滑らかな多様体上でのキリングテンソルを定義する方程式の積分問題を解決する。特に対称的でない非ゼロの断面曲率をもつ擬リーマン多様体において、次数 $p$ のキリングテンソルは、計量行列式の指数関数的因子と反対称定数を含む明示的な局所成分表現を有することを示し、リーマン幾何学における既知の結果を一般化するとともに、曲率に基づく対称性構造のアフィン版を提供する。

ABSTRACT

In this paper we solve the problem of finding integrals of equations determining the Killing tensors on an $n$ -dimensional differentiable manifold $M$ endowed with an equiaffine $ SL(n, R) $ -structure and discuss possible applications of obtained results in Riemannian geometry.

研究の動機と目的

• 等長的 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造を備えた $n$ 次元多様体上でのキリングテンソルを定義する方程式の積分を特定すること。
• 等長的 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造を用いて、リーマン幾何学におけるキリングテンソルに関する既知の結果をアフィン幾何学的設定に拡張すること。
• 定曲率多様体上での共形キリングテンソルの構造を特徴付け、キリングヤーノテンソルおよび閉じた共形キリングテンソルへの分解を明らかにすること。
• 定曲率空間における古典的キリングベクトル場の結果のアフィン版を、高ランクテンソルへ一般化すること。

提案手法

• 曲率テンソルの $SL(n,\mathbb{R})$ 不変分解を用い、リッチ部分とウェイル射影的部分に分離することで、等長的構造をリッチ平坦または等射影的と分類する。
• concircular ベクトル場の概念とリッチの恒等式による可積分性条件を用い、等射影接続を特徴付ける。
• 計量行列式を $\psi = [2(n+1)]^{-1}\ln|\det g|$ で表す座標系を導入し、キリングテンソルの局所成分表現を明示的に得る。
• 共形キリングテンソルをキリングヤーノテンソルと閉じた共形キリングテンソルに分解し、後者を前者の共変微分から導出する。
• 定曲率多様体上で有効なクリスタッフ記号の公式 $\Gamma^k_{ij} = \psi_i \delta^k_j + \psi_j \delta^k_i$ を用いて、テンソル成分の表現を簡略化する。
• 既知の結果 [St 1]、[St 3]、[St 5] を応用し、次数 $p \geq 2$ の共形キリングテンソルの統一的枠組みを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長的 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造を備えた $n$ 次元多様体上でのキリングテンソルの一般形は何か？
• RQ2 擬リーマン多様体で非ゼロの定断面曲率をもつ場合、キリングテンソルはキリングヤーノテンソルと閉じた共形キリングテンソルにどのように分解されるか？
• RQ3 定曲率多様体上での次数 $p$ の共形キリングテンソルの明示的局所成分表現は何か？
• RQ4 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造はアフィン幾何学におけるキリングテンソルの存在と形にどのように影響を与えるか？
• RQ5 定曲率リーマン多様体におけるキリングベクトル場の構造のアフィン版を、高ランクテンソルへ一般化できるか？

主な発見

• 次数 $n$ の擬リーマン多様体で非ゼロの定断面曲率 $C$ をもつ場合、任意のキリングベクトル場 $\omega$ は局所成分として $\omega_i = e^{2\psi}(A_{ik}x^k + B_i)$ と表され、ここで $\psi = [2(n+1)]^{-1}\ln|\det g|$、$A$ は反対称、$B$ は定数である。
• このような多様体上での共形キリングテンソル空間 $\mathbf{C}^p(M,\mathbb{R})$ は一意的に $\mathbf{K}^p \oplus \mathbf{P}^p$ に分解され、ここで $\mathbf{K}^p$ はキリングヤーノテンソルの空間、$\mathbf{P}^p$ は閉じた共形キリングテンソルの空間である。
• 次数 $p$ のキリングヤーノテンソル $\omega$ は成分として $\omega_{i_1\dots i_p} = e^{(p+1)\psi}(A_{ki_1\dots i_p}x^k + B_{i_1\dots i_p})$ と表され、$A$ と $B$ は任意の反対称定数である。
• 次数 $p$ の閉じた共形キリングテンソル $\theta$ は $\theta_{i_1\dots i_p} = -\frac{1}{C}e^{p\psi}(\psi_{[i_1}C_{|k|i_2\dots i_p]}x^k + \psi_{[i_1}D_{i_2\dots i_p]} + \frac{1}{p}C_{i_1\dots i_p})$ を満たし、$C$ と $D$ は反対称定数である。
• 次数 $p$ の完全な共形キリングテンソル $\vartheta$ は、キリングヤーノテンソル成分と閉じた共形キリングテンソル成分の和として与えられ、指数因子と反対称定数を用いた完全なパラメータ表示を提供する。
• 等長的 $SL(n,\mathbb{R})$ 構造における接続および曲率の構造から、ウェイル射影曲率テンソルがゼロであることは、$n$ 個の線形独立な concircular ベクトル場が存在することと同値であり、これは等射影的構造を特徴付ける。