[論文レビュー] The Klein solution to Painleve's sixth equation

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元複素反射群の生成子の三つ組から得られる有限モノドロミー群の軌道を用いて、不規則接続に対するフーリエ–ラプラス変換を介して、ピラッセの6番目の微分方程式に対する明示的代数的解を構成する新規な手法を提示する。この手法により、SL₂(ℂ) の有限部分群から得られる解とは同値でない7分岐を持つ新たな代数的解が得られ、一般のピラッセ VI 方程式に対するリーマン–ヒルベルト問題と接続公式の明示的解が得られる。特に、位数168のケーリンの群をキーサンプルとして用いる。

ABSTRACT

Abstract. We will describe a method for constructing explicit algebraic solutions to the sixth Painlevé equation. There are basically two steps: First we explain how to construct finite braid group orbits of triples of elements of SL2(C) out of triples of generators of three-dimensional complex reflection groups. (This involves the Fourier– Laplace transform for certain irregular connections.) Then we adapt a result of Jimbo to produce the Painlevé VI solutions. (In particular this solves a Riemann–Hilbert problem explicitly.) Each step will be illustrated using the complex reflection group associated to Klein’s simple group of order 168. This leads to a new algebraic solution with seven branches. We will also prove that, unlike the algebraic solutions of Dubrovin–Mazzocco and Hitchin, this solution is not equivalent to any solution coming from a finite subgroup of SL2(C). The results of this paper also yield a simple proof of a recent theorem of Inaba– Iwasaki–Saito on the action of Okamoto’s affine D4 symmetry group as well as the correct connection formulae for generic Painlevé VI equations. Klein’s quartic curve

研究の動機と目的

• ピラッセ6番目の微分方程式に対する明示的代数的解を生成する構成的技法を開発すること。
• ピラッセ VI 方程式のリーマン–ヒルベルト問題を明示的かつ代数的に解くこと。
• 位数168のケーリンの群から導かれる新しい解が、SL₂(ℂ) の有限部分群から生じる解と同値でないことを示すこと。
• 一般のピラッセ VI 方程式に対する正しい接続公式を提供すること。
• 稲葉–岩崎–斎藤の結果、特にオカモトのアフィン D₄ 対称群作用に関する結果の簡単な証明を提供すること。

提案手法

• 3次元複素反射群の生成子から得られる SL₂(ℂ) 内の三つ組の有限モノドロミー群の軌道を構成する。
• 不規則接続に対してフーリエ–ラプラス変換を適用し、モノドロミー情報とピラッセ VI 方程式を関連付ける。
• ジムボの結果を適応して、構成されたモノドロミー群の軌道からピラッセ VI の解を生成する。
• 構成プロセスを具体例として、位数168のケーリンの単純群を用いる。
• ケーリンの4次曲線に関連する複素反射群と関連するモノドロミー群の軌道を解析することで、明示的代数的解を導出する。
• 構成から得られるモノドロミー情報に基づき、一般のピラッセ VI 方程式の接続公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的および幾何的データを用いて、ピラッセ6番目の微分方程式に対する明示的代数的解を体系的に構成する方法を開発できるか？
• RQ2 7分岐を持つ新しい代数的解は、SL₂(ℂ) の有限部分群から得られる解と同値か？
• RQ3 複素反射群からのモノドロミー情報に基づいて、ピラッセ VI のリーマン–ヒルベルト問題を明示的に解けるか？
• RQ4 フーリエ–ラプラス変換は、不規則接続とピラッセ超越関数をどのように結びつけるか？
• RQ5 本構成を用いて、オカモトのアフィン D₄ 対称群作用がピラッセ VI 解に与える影響を明示的に証明できるか？

主な発見

• ピラッセ6番目の微分方程式に対する、正確に7分岐を持つ新しい代数的解が構成された。
• この新しい解は、SL₂(ℂ) の有限部分群から生じる解と同値でないことが証明され、ドゥブロヴィン–マゾッコおよびヒッチンの解とは明確に区別される。
• 本手法により、モノドロミー群の軌道から得られるモノドロミー情報に基づき、ピラッセ VI 方程式のリーマン–ヒルベルト問題に対する明示的解が得られた。
• 構成により、一般のピラッセ VI 方程式に対する正しい接続公式が得られ、従来の手法に伴う曖昧さが解消された。
• 稲葉–岩崎–斎藤による、オカモトのアフィン D₄ 対称群作用に関する最近の定理の簡単な証明が得られた。
• ケーリンの群（位数168）を事例として用いることで、本手法の有効性が明確に示され、4次曲線と関連する豊かな代数的構造が得られた。