[論文レビュー] The Lanczos potential as a spin-2 field

Daniel Cartin|ArXiv.org|Nov 20, 2003

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、電磁ポテンシャルに類似したテンソルゲージ場としてのランコーズポテンシャル $L_{abc}$ を用いて線形化されたスピン2重力の定式化を提案し、非線形スピン2理論のBorn-Infeld型作用を導出する。主な貢献は、この作用に対するハミルトニアン形式の構築であり、弱い場の極限において場の運動方程式と制約が線形形式に簡略化されることを示しており、運動量は非線形双対性関係によって定義される。

ABSTRACT

The Lanczos potential $L_{abc}$ acts as a tensor potential for the spin-2 field strength $W_{abcd}$ in an role similar to that of the vector potential $A_a$ for the Maxwell tensor $F_{ab}$. After some general considerations inspired by the example of electromagnetism, we consider the linear spin-2 theory and a Born-Infeld type action in terms of $L_{abc}$.

研究の動機と目的

• ランコーズポテンシャル $L_{abc}$ を電磁ポテンシャル $A_a$ のスピン2版として用いる、ゲージ理論的枠組みによる線形化重力の定式化を展開すること。
• 電磁気学における類似作用にインspiredされた、Born-Infeld型作用を用いた非線形スピン2理論へのこの枠組みの拡張。
• 提案された非線形スピン2作用のハミルトニアン形式を導出し、3+1分解による制約と場の運動方程式を分析すること。
• 特に代数的および微分的ゲージを選択する際の $L_{abc}$ のゲージ選択の影響を、ハミルトニアン構造に及ぼす影響を検討すること。
• 決定的に基づく作用を修正して $F_{ab}$ を含めることで、ランコーズ場と電磁場をこの非線形枠組み内で一貫して結合できるかを検討すること。

提案手法

• Weyl候補テンソル $W_{abcd}$ を、$W_{abcd} = L_{ab[c;d]} + L_{cd[a;b]} - {}^*L^*_{ab[c;d]} - {}^*L^*_{cd[a;b]}$ という恒等式を用いてランコーズポテンシャル $L_{abc}$ で表現する。ここで $L_{abc}$ は反対称性およびトレースレス条件を満たす。
• $L_{abc}$ に対して3+1分解を適用し、空間的および時間的成分に分離することで、正準運動量と制約を導出する。
• テンソル $M^a{}_{bcd} = \delta^a_b g_{cd} + W^a{}_{bcd}$ の行列式に類似した不変量 $\Delta$ を用いて、Born-Infeld型ラグランジアン ${/cal L}_{BI} = \frac{1}{2}\Delta^{1/2}$ を構成する。
• 変分原理を用いて作用から場の運動方程式を導出し、場強度 $E_{ab}$ および $B_{ab}$ に対して非線形マクスウェル型方程式が得られることを示す。
• 正準運動量 $\pi^{ab} = D^{ab}$、$\pi^{abc} = \frac{1}{2}\epsilon^{ab}{}_{i} H^{ic}$ を定義し、$D_{ab}$、$H_{ab}$ は作用の非線形応答から導出される。
• 正準運動量を含む平方根型の式としてハミルトニアン $\cal H_{BI}$ を導出する。この式には制約項および正準変数の時間微分項が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランコーズポテンシャル $L_{abc}$ は、ゲージ理論的枠組みにおける電磁ポテンシャル $A_a$ のスピン2版として適切に機能するか？
• RQ2 ランコーズポテンシャルを用いて、スピン2場強度 $W_{abcd}$ に対してBorn-Infeld型作用をどのように構築できるか？
• RQ3 提案された非線形スピン2理論のハミルトニアン構造は何か？また、線形の場合と比較してどのように異なるか？
• RQ4 特に代数的および微分的ゲージを選択した場合、理論の正準形式にどのような影響を与えるか？
• RQ5 この非線形枠組み内で、ランコーズ場を電磁場と一貫して結合できるか？

主な発見

• 4次元時空において、ランコーズポテンシャル $L_{abc}$ は、必要な対称性およびゲージ条件を満たすWeyl候補テンソル $W_{abcd}$ の有効なテンソルポテンシャルを提供する。
• スピン2重力のBorn-Infeld型作用は、テンソル $M^a{}_{bcd} = \delta^a_b g_{cd} + W^a{}_{bcd}$ の行列式に類似した不変量 $\Delta$ を用いて構成され、ラグランジアン ${\cal L}_{BI} = \frac{1}{2}\Delta^{1/2}$ を得る。
• 得られた場の運動方程式は非線形マクスウェル型方程式の形をとり、$W_{abcd}$ の電気的および磁気的成分 $E_{ab}$ と $B_{ab}$ が非線形応答関数を通じて結合される。
• 正準運動量 $\pi^{ab}$ および $\pi^{abc}$ は、$E_{ab}$ および $B_{ab}$ を含む非線形式で定義され、弱い場の極限では線形形式に簡略化される。
• ハミルトニアン $\cal H_{BI}$ は、運動量の不変量の組み合わせの平方根として表現され、$\epsilon_{ij}{}^{a}\pi_{ab}\pi^{ijb}$ を含む項が双対性構造を符号化する。
• $M^a{}_{bcd}$ を $F_{cd}$ を含むように修正することで、作用を電磁気的結合を含むように拡張でき、スピン2およびスピン1場の統一作用が得られる。