[論文レビュー] The Laplace-Beltrami operator on conic and anticonic-type surfaces

Ugo Boscain, Dario Prandi|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

advanced mathematical theories被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、計量 $ds^2 = dx^2 + |x|^{-2\alpha}d\theta^2$ を持つ2次元多様体上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトル的および確率的性質を調査し、本質的自己共役性が $α \notin (-3,1)$ であるときに限り成り立つことを示している。この場合、唯一の自己共役拡張はフレドリクス拡張 $Δ_F$ である。$α \in (-1,1)$ のとき、新たなブリッジング拡張 $Δ_B$ が導入され、特異点 ${x=0}$ を完全に越える通信が可能になる。また、特定の $α$-依存条件のもとで、$Δ_F$ および $Δ_B$ は両方とも確率的完備性を満たす。

ABSTRACT

We study the evolution of the heat and of a free quantum particle (described by the Schrodinger equation) on two-dimensional manifolds endowed with the degenerate Riemannian metric $ds^2=dx^2+|x|^{-2\alpha}d heta^2$, where $x\in \mathbb R$, $ heta\in\mathbb T$ and the parameter $\alpha\in\mathbb R$. For $\alpha\le-1$ this metric describes cone-like manifolds (for $\alpha=-1$ it is a flat cone). For $\alpha=0$ it is a cylinder. For $\alpha\ge 1$ it is a Grushin-like metric. We show that the Laplace-Beltrami operator $\Delta$ is essentially self-adjoint if and only if $\alpha otin(-3,1)$. In this case the only self-adjoint extension is the Friedrichs extension $\Delta_F$, that does not allow communication through the singular set $\{x=0\}$ both for the heat and for a quantum particle. For $\alpha\in(-3,-1]$ we show that for the Schrodinger equation only the average on $ heta$ of the wave function can cross the singular set, while the solutions of the only Markovian extension of the heat equation (which indeed is $\Delta_F$) cannot. For $\alpha\in(-1,1)$ we prove that there exists a canonical self-adjoint extension $\Delta_B$, called bridging extension, which is Markovian and allows the complete communication through the singularity (both of the heat and of a quantum particle). Also, we study the stochastic completeness (i.e., conservation of the $L^1$ norm for the heat equation) of the Markovian extensions $\Delta_F$ and $\Delta_B$, proving that $\Delta_F$ is stochastically complete at the singularity if and only if $\alpha\le -1$, while $\Delta_B$ is always stochastically complete at the singularity.

研究の動機と目的

• 与えられた計量 $ds^2 = dx^2 + |x|^{-2\alpha}d\theta^2$ を持つ退化するリーマン計量を持つ多様体上でのラプラス＝ベルトラミ作用素の自己共役拡張を分析すること。
• 熱方程式およびシュレーディンガー方程式が特異集合 $\u007Bx=0\u007D$ を越えて通信を許容または禁止する条件を特定すること。
• 熱方程式のマルコフ的拡張を分類し、特異点における確率的完備性を評価すること。
• 特異点を完全に越える通信を可能にする標準的ブリッジング拡張 $\u0394_B$ を特定・特徴づけること。

提案手法

• 計量 $ds^2 = dx^2 + |x|^{-2\alpha}d\theta^2$ を持つ多様体上でのラプラス＝ベルトラミ作用素 $\u0394$ の分析。ここで $x \in \mathbb{R}$、$\theta \in \mathbb{T}$、$\alpha \in \mathbb{R}$ である。
• 関数解析的技法を用いて $\u0394$ の本質的自己共役性を評価し、それが $\alpha \notin (-3,1)$ であるときに限り成り立つことを示した。
• $\alpha \notin (-3,1)$ のとき、唯一の自己共役拡張としてフレドリクス拡張 $\u0394_F$ が特定され、これは $\u007Bx=0\u007D$ を越える伝播を禁止する。
• $\alpha \in (-1,1)$ のとき、完全な通信を可能にするブリッジング拡張 $\u0394_B$ の構成と特徴づけを行った。この拡張は熱および量子粒子の両方の伝播を可能にする。
• $\u0394_F$ および $\u0394_B$ における熱方程式の解の $L^1$ ノルムの保存を用いて、確率的完備性を検討した。
• $\alpha \in (-3,-1]$ のとき、シュレーディンガー方程式における波動関数の $\theta$-平均を分析し、伝播挙動を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\alpha$ の値に対して、与えられた計量空間上でのラプラス＝ベルトラミ作用素 $\u0394$ は本質的自己共役性を有するか？
• RQ2 熱または量子粒子が特異集合 $\u007Bx=0\u007D$ を越えて伝播する条件は何か？
• RQ3 $\alpha \in (-1,1)$ のとき、標準的自己共役拡張 $\u0394_B$ の性質は何か？また、$\u0394_F$ とはどのように異なるか？
• RQ4 フレドリクス拡張 $\u0394_F$ が特異点で確率的完備性を満たすのはいつか？
• RQ5 $\alpha \in (-3,-1]$ のとき、シュレーディンガー方程式における波動関数の $\theta$-平均はどのように振る舞うか？

主な発見

• ラプラス＝ベルトラミ作用素 $\u0394$ は、$\alpha \notin (-3,1)$ であるときに限り本質的自己共役性を有し、このとき唯一の自己共役拡張はフレドリクス拡張 $\u0394_F$ である。
• $\alpha \in (-3,-1]$ のとき、シュレーディンガー方程式では波動関数の $\theta$-平均のみが特異点を越えるが、マルコフ的熱方程式拡張 $\u0394_F$ はいかなる伝播も禁止する。
• $\alpha \in (-1,1)$ のとき、完全な通信を可能にする標準的マルコフ的自己共役拡張 $\u0394_B$ が存在し、熱および量子粒子の両方が $\u007Bx=0\u007D$ を越えて伝播可能である。
• フレドリクス拡張 $\u0394_F$ は、特異点で確率的完備性を満たすことが、$\alpha \leq -1$ のときに限り成り立つ。
• ブリッジング拡張 $\u0394_B$ は、$\alpha \in (-1,1)$ にかかわらず、特異点で常に確率的完備性を満たす。
• $\alpha = 0$ のとき、計量は円筒に対応し、$\u0394_B$ は依然として有効なマルコフ的拡張であり、$\u007Bx=0\u007D$ を完全に越える伝播を可能にする。