[論文レビュー] The Lattice of Fuzzy Intervals and Sufficient Conditions for its Distributivity

Athanasios Kehagias|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2002

Fuzzy Logic and Control Systems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全なラティス (X, ⊑) 内の閉区間である p-カットをもつファジィ集合としてのファジィ区間を導入し、そのようなファジィ区間の集合が完全ラティスをなすことを証明する。主な貢献は、(X, ⊑) が完全分配的であるならば、ファジィ区間のラティスが分配的になることである。これは、実数区間に基づく古典的ファジィ区間理論を一般ラティス構造へと拡張するものである。

ABSTRACT

Given a reference lattice, we define fuzzy intervals to be the fuzzy sets such that their p-cuts are crisp closed intervals. We show that: given a complete reference lattice, the collection of its fuzzy intervals is a complete lattice. Furthermore we show that: if the reference lattice is completely distributive then the lattice of its fuzzy intervals is distributive.

研究の動機と目的

• 参照ラティス (X, ⊑) 内の閉区間である p-カットをもつファジィ集合としてのファジィ区間を形式化すること。
• 完全ラティス (X, ⊑) 上のすべてのファジィ区間の集合が完全ラティスをなすことの確立。
• 特に、(X, ⊑) の完全分配的性が、ファジィ区間のラティスが分配的になるための十分条件であることを特定すること。
• 実数区間に基づく古典的ファジィ区間理論を任意の完全ラティスへ一般化すること。
• 凸性およびファジィ代数的構造のさらなる研究を可能にする、ファジィ区間のラティス的基盤を提供すること。

提案手法

• 各 p-カット M_p が (X, ⊑) 内の閉区間である関数 M: X → [0,1] としてファジィ区間を定義する。
• p-カットの性質（単調性、共通部分の保存）を用いてファジィ区間およびそのラティス演算を特徴付ける。
• 点ごとの上限および下限について閉じていること、すなわち ˜I が完全ラティスをなすことを証明する。
• ファジィ区間の結合演算 ⊗.∨ を p-カットの共通部分として定義する：(M ⊗.∨ N)_p = M_p ∪̇ N_p は、M_p と N_p を両方含む最小の閉区間である。
• p-カットの等式およびラティス恒等式を用いて、(X, ⊑) が完全分配的であるならば、ラティス (˜I, ≤, ⊗.∨, ∧) が分配的であることを示す。
• 表現定理（命題 2.7）を用いて、p-カットとファジィ集合の双対性を活用し、区間族からファジィ集合を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全ラティス (X, ⊑) 上のファジィ区間の集合が、どのような条件下で完全ラティスをなすか？
• RQ2 ファジィ区間のラティスがいつ分配的になるか？
• RQ3 ファジィ区間の p-カットは、結合や交わりなどのラティス演算においてどのように振る舞うか？
• RQ4 基本ラティス (X, ⊑) の分配的性と、ファジィ区間のラティスの分配的性の関係は何か？
• RQ5 実数 R 上の古典的ファジィ区間理論は、どの程度任意のラティスへ一般化可能か？

主な発見

• 完全ラティス (X, ⊑) 上のすべてのファジィ区間の集合は、点ごとの順序、結合、交わりに関して完全ラティスをなす。
• 基本ラティス (X, ⊑) が完全分配的であるならば、ファジィ区間のラティスは分配的である。
• ファジィ区間の結合 M ⊗.∨ N の p-カットは、M_p と N_p を両方含む最小の閉区間であり、すなわち (M ⊗.∨ N)_p = M_p ∪̇ N_p である。
• ファジィ区間におけるラティス演算は、p-カット構造を保存するため、結果として得られるファジィ集合が実際にファジィ区間であることが保証される。
• 分配的性の証明は、(X, ⊑) の完全分配的性に強く依存しており、これにより上限および下限を含むラティス恒等式が区間演算においても成立する。
• 本結果は、p-カットが実数区間である古典的ファジィ区間理論を、任意の完全ラティスへ一般化するものである。