[論文レビュー] The Laumon's resolution of Drinfeld's compactification is small

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Oct 27, 1996

Advanced Topology and Set Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ラウモンのドリニンの準マップコンパクト化の解消が、特異点の小さな解消であることを証明し、ドリニンの予想を確認している。主な結果として、特異コンパクト化上の交差特異ホモロジー層が純粋タート・ホッジ構造を持つことが示され、そのベッチ数はルシュティグが定義したコスタントの分割関数の $q$-アナロジーと一致する。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth projective curve of genus 0. Let $\FF$ be the variety of complete flags in an $n$-dimensional vector space $V$. Given an $(n-1)$-tuple $α$ of positive integers one can consider the space $\MMα$ of algebraic maps of degree $α$ from $C$ to $\FF$. This space has drawn much attention recently in connection with Quantum Cohomology. The space $\MMα$ is smooth but not compact. The problem of compactification of $\MMα$ proved very important. One compactification $\MMLα$ (the space of {\em quasiflags}), was constructed in \cite{L}. However, historically the first and most economical compactification $\MMDα$ (the space of {\em quasimaps}) was constructed by Drinfeld (early 80-s, unpublished). The latter compactification is singular, while the former one is smooth. Drinfeld has conjectured that the natural map $π:\MMLα o\MMDα$ is a small resolution of singularities. In the present note we prove this conjecture. As a byproduct, we compute the stalks of $IC$ sheaf on $\MMDα$ and, moreover, the Hodge structure in these stalks. Namely, the Hodge structure is a pure Tate one, and the generating function for the $IC$ stalks is just the Lusztig's $q$-analogue of Kostant's partition function (see \cite{Lu}).

研究の動機と目的

• ドリニンの予想を証明する。すなわち、滑らかな準フラッグ空間からドリニンの特異的準マップコンパクト化への自然な写像が、特異点の小さな解消である。
• ドリニンのコンパクト化上の交差特異ホモロジー層の茎を計算する。
• これらの茎のホッジ構造を特定し、既知の組合せ的不変量と関連付ける。
• 準マップのモジュライ空間の幾何と、コスタントの分割関数の $q$-アナロジーなどの表現論的不変量との明確な関係を確立する。

提案手法

• ドリニンの準マップコンパクト化の特異点を解消するためのラウモン解消の使用。
• 解消写像のファイバー構造の分析により、小さな条件を検証する。
• 等化同相とビャリニツキ＝ビルール理論を用いて、交差特異ホモロジー層の茎を計算する。
• ルシュティグのコスタントの分割関数の $q$-アナロジーを用いて、茎のベッチ数の母関数を記述する。
• ドリニンのコンパクト化の特異点が、特異空間の次元の半分未満の次元を持つファイバーを持つ写像によって解消されることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリニンの準マップコンパクト化のラウモン解消は、特異点の小さな解消であるか？
• RQ2 ドリニンの特異的コンパクト化上の交差特異ホモロジー層のホッジ構造は何か？
• RQ3 ドリニンのコンパクト化上の交差特異ホモロジー層の茎のベッチ数は、既知の組合せ的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 交差特異ホモロジー層の茎のベッチ数の母関数は、ルシュティグのコスタントの分割関数の $q$-アナロジーで表せるか？

主な発見

• 滑らかな準フラッグ空間からドリニンの準マップコンパクト化への解消写像が、特異点の小さな解消であることが証明された。
• ドリニンのコンパクト化上の交差特異ホモロジー層の茎は、純粋タート・ホッジ構造を備えている。
• 交差特異ホモロジー層の茎のベッチ数の母関数は、ルシュティグのコスタントの分割関数の $q$-アナロジーに等しい。
• 解消写像のファイバーの次元は、特異コンパクト化の次元の半分未満であり、これが「小さな」性質の確認に寄与した。