[論文レビュー] The limit as p -> infinity of the Hilbert-Kunz multiplicity of sum(x_i^(d_i))

Ira M. Gessel, Paul Monsky|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$(\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_s]$ 内の多項式 $\sum x_i^{d_i}$ のヒルベルト＝クンツ多重度の極限を、$p \to \infty$ のとき計算している。オイラー多項式と母関数を用いた組合せ論的技法を用い、極限の閉形式表現を導出し、すべての $d_i = 2$ の場合に、極限が $1 + \sec z + \tan z$ のテイラー展開における $z^{s-1}$ の係数に等しいことを示している。この結果により、ある予想が解決され、同次二次の場合の漸近的多重度について一様な公式が得られた。

ABSTRACT

Let p be a prime. The Hilbert-Kunz multiplicity, mu, of the element sum(x_i^(d_i)) of (Z/p)[x_1,..., x_s] depends on p in a complicated way. We calculate the limit of mu as p -> infinity. In particular when each d_i is 2 we show that the limit is 1 + the coefficient of z^(s-1) in the power series expansion of sec z + tan z.

研究の動機と目的

• 素数 $p \to \infty$ のとき、$(\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_s]$ 内の $\sum x_i^{d_i}$ のヒルベルト＝クンツ多重度の漸近的挙動を特定すること。
• 組合せ論的および母関数的手法を用いて、この極限の閉形式表現を提供すること。
• すべての $d_i = 2$ の場合に、極限が $1 + \sec z + \tan z$ の $z^{s-1}$ の係数に等しいという予想を解決すること。
• 特に $s \geq 3$ の場合に、正標数におけるヒルベルト＝クンツ多重度に関する先行研究を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• ヒルベルト＝クンツ多重度 $\mu$ を有界化するため、商環の長さとして定義される関数 $D_p(k_1,\dots,k_s)$ を用いる。
• 補題 1.2 および補題 1.3 を用いて $D_p$ の境界を適用し、$\mu$ が $p \to \infty$ のとき収束する区間へ収縮することを示す。
• 文献 [3] の公式を用い、$D_p(a_1,\dots,a_s)$ を $\prod \frac{1 - t^{a_i}}{1 - t}$ を含む母関数の係数の和として表現する。
• 符号の組 $(\epsilon_i = \pm 1)$ に対して、$\sum \frac{\epsilon_i}{d_i} > 2\lambda$ を満たすものについて、$C_\lambda = \sum_{\epsilon_i = \pm 1} \left( \sum \frac{\epsilon_i}{d_i} - 2\lambda \right)^{s-1}$ と定義する。この和は漸近的寄与を捉えている。
• オイラー多項式 $A_n(T)$ 及び $T = i$ における評価を用い、$\sum_a f_s(a)$ の和を $\sec z + \tan z$ のテイラー級数に結びつける。
• 形式的べき級数の恒等式および $\mathbb{C}[[T,z]]$ 内の環準同型を用い、$A_n(i)$ と $\sec z + \tan z$ を結ぶ母関数の恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \to \infty$ のとき、$(\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_s]$ 内の $\sum x_i^{d_i}$ のヒルベルト＝クンツ多重度の極限は何か？
• RQ2 すべての $d_i = 2$ の場合に、この極限を閉形式で表せるか？
• RQ3 なぜ $d_i = 2$ の場合に、極限が $1 + \sec z + \tan z$ の $z^{s-1}$ の係数に等しくなるのか？
• RQ4 オイラー多項式は、この文脈における漸近的ヒルベルト＝クンツ多重度とどのように関係するのか？

主な発見

• $p \to \infty$ のときのヒルベルト＝クンツ多重度 $\mu$ の極限は存在し、$\frac{d \cdot 2^{1-s}}{(s-1)!} \sum_{\lambda \in \mathbb{Z}} C_\lambda$ で与えられる。ここで $C_\lambda$ は符号の組に関する組合せ的和である。
• すべての $d_i = 2$ の場合、極限は $\sec z + \tan z$ のテイラー展開における $z^{s-1}$ の係数に $1$ を加えたものに簡略化される。
• $s = 5$ の場合、極限は $\frac{29}{24}$ であり、論文では $p > 2$ に対して $\mu = \frac{29p^2 + 15}{24p^2 + 12}$ が成り立ち、$p \to \infty$ のとき $\frac{29}{24}$ に収束することが確認されている。
• すべての $s$ に対して極限は有理数であり、公式は $s$ にわたって一様に成り立ち、$\sec z + \tan z$ の生成関数は、オイラー多項式を $i$ で評価することから自然に現れる。
• この手法により、$p^{-1} D_p(a_1,\dots,a_s)$ の極限と $\mu$ が同じに収束することが証明され、誤差は $O(1/p)$ で有界であることが示された。
• 主な恒等式 $\sum_{a \equiv s \pmod{4}} f_s(a) = 2^{s-2} \left( A_{s-1}(1) + \frac{c}{2} + \frac{\overline{c}}{2} \right)$ で $c = \frac{A_{s-1}(i)}{(1+i)^{s-2}}$ と定義すると、この和は $\sec z + \tan z$ のテイラー係数に結びつく。