[논문 리뷰] The limit distribution of ratios of jumps and sums of jumps of subordinators

Péter Kevei, M Mason David|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $ t \downarrow 0 $ 또는 $ t \to \infty $ 일 때 점프와 잘라낸 합의 비율인 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 및 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $의 점근적 분포에 대한 필수적이고 충분한 조건을 수립한다. 핵심 결과는 Lévy 측도 尾함수 $ \overline{\Lambda} $ 의 정규 변화 성질이 점근적 행동을 결정하며, 변화율 지수 또는 영점 또는 무한대에서의 빠른 변화에 따라 베타 분포, 비퇴화 극한, 또는 폭주하는 극한으로 수렴함을 밝힌다.

ABSTRACT

Let $V_{t}$ be a driftless subordinator, and let denote $m_{t}^{(1)} \geq m_{t}^{(2)} \geq\ldots$ its jump sequence on interval $[0,t]$. Put $V_{t}^{(k)} = V_{t} - m_{t}^{(1)} - \ldots- m_{t}^{(k)}$ for the $k$-trimmed subordinator. In this note we characterize under what conditions the limiting distribution of the ratios $V_{t}^{(k)} / m_{t}^{(k+1)}$ and $m_{t}^{(k+1)} / m_{t}^{(k)}$ exist, as $t \downarrow0$ or $t o\infty$.

연구 동기 및 목표

• 드라이프 없는 서브오르도레이터에서 $ t \downarrow 0 $ 또는 $ t \to \infty $ 일 때 비율 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 의 점근적 분포를 결정하기 위해.
• 동일한 점근적 영역에서 연속된 순서 정렬된 점프 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 의 점근적 행동을 특성화하기 위해.
• 분포 수렴을 위한 Lévy 측도 尾함수 $ \overline{\Lambda} $ 에 대한 필요 및 충분 조건을 정규 변화 이론과 타우버형 추론을 사용하여 수립하기 위해.
• 무한한 점프 활동을 가진 서브오르도레이터에 대해, i.i.d. 비음수 랜덤 변수에 대한 고전 결과를 레비 과정 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• Laplace 변환과 Lévy 측도 尾함수 $ \overline{\Lambda}(x) = \Lambda((x,\infty)) $ 의 점근적 분석을 통해 극한 법칙을 유도하기 위해.
• 정규 변화 이론과 타우버 정리의 적용을 통해 점프 비율의 수렴을 특성화하기 위해.
• 점프 크기의 점근적 행동과 Lévy 측도 $ \Pi $ 의 尾함수 간의 관계를 정의하기 위해 함수 $ \psi(s) = \sup\{y : \overline{\Pi}(y) > s\} $ 를 도입하기 위해.
• 정규 변화를 확인하기 위해 $ \overline{\Pi}(z_{n+1}) / \overline{\Pi}(z_n) \to 1 $ 이 되도록 하는 엄격하게 감소하는 수열 $ \{z_n\} \subset \mathcal{A} $ 이며 $ z_n \to 0 $ 인 수열을 구성하기 위해.
• 역함수 $ \psi $ 를 사용하여 비율 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t) / \psi(S_k/t) $ 를 분석하기 위해.
• Bingham과 Teugels (1987) 의 정리 1.7.1 을 적용하여 $ \psi $ 의 점근적 행동과 $ \overline{\Pi} $ 의 정규 변화 성질 간의 연결을 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lévy 측도 尾함수 $ \overline{\Lambda} $ 가 어떤 조건을 만족할 경우 $ t \downarrow 0 $ 또는 $ t \to \infty $ 일 때 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 가 분포 수렴을 보이는가?
• RQ2 연속된 점프의 비율 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 가 비퇴화 극한으로 수렴하는 조건은 무엇이며, 그 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 점프 비율의 점근적 행동이 $ \overline{\Lambda} $ 의 정규 변화 지수로 완전히 특성화될 수 있는가? 느리게 변화하거나 매우 빠르게 변화하는 경우는 어떻게 되는가?
• RQ4 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 의 극한 분포가 열악한 경우(즉, $ \mathbb{P}(W_k = \infty) \in (0,1) $) 가 가능한가, 아니면 불가능한가?
• RQ5 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t)/\psi(S_k/t) $ 의 점근적 행동이 $ \overline{\Pi} $ 의 변화 유형과 어떻게 관련되어 있으며, 이에 대응하는 극한 법칙은 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $ \overline{\Lambda} $ 가 0 또는 $ \infty $ 에서 정규 변화를 보이며 지수 $ -\alpha \in (-1,0) $ 를 가질 경우, 비율 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 는 적절한 랜덤 변수로 분포 수렴하며, Laplace 변환은 $ g_k(\lambda) = \exp(-\lambda) / \left[1 + \alpha \int_0^1 (1 - e^{-\lambda y}) y^{-\alpha-1} dy \right]^{k+1} $ 로 주어진다.
• 만약 $ \overline{\Lambda} $ 가 0 또는 $ \infty $ 에서 느리게 변화한다면, $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to 1 $ 거의 확실히 수렴하므로 극한은 1에 퇴화된다.
• 만약 $ x \downarrow 0 $ 또는 $ x \to \infty $ 일 때 $ \frac{x \overline{\Lambda}(x)}{\int_0^x u \Lambda(du)} \to 0 $ 이면, $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to \infty $ 확률적으로 수렴하므로 극한은 거의 확실히 무한대이다.
• 만약 $ \overline{\Pi} $ 가 0 또는 $ \infty $ 에서 정규 변화를 보이며 지수 $ -\alpha \in (-\infty, 0) $ 를 가질 경우, 비율 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 는 분포 수렴으로 베타$ (k\alpha, 1) $ 분포를 가지며, 누적분포함수는 $ x \in [0,1] $ 에 대해 $ G_k(x) = x^{k\alpha} $ 이다.
• 만약 $ \overline{\Pi} $ 가 0 또는 $ \infty $ 에서 느리게 변화한다면, $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 0 $ 거의 확실히 수렴한다.
• 만약 $ \overline{\Pi} $ 가 0 또는 $ \infty $ 에서 지수 $ -\infty $ 로 빠르게 변화한다면, $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 1 $ 거의 확실히 수렴한다.