[論文レビュー] The limit of F_p-Betti numbers of a tower of finite covers with amenable fundamental groups

Peter A. Linnell, Wolfgang Lueck+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アーメン基本群をもつ有限被覆の塔におけるF_pベッチ数の極限についての公式を確立し、極限が局域化された群環上のホモロジー加群のOre次元に等しいことを示している。同論文は、Ore局域化とホモロジー代数を用いて、任意の体、特に特徴数pの体へとL^2ベッチ数近似定理を一般化している。これは、ほとんどすべてのねじれのないアーメン群に対して一般化された結果である。

ABSTRACT

We prove an analogue of the Approximation Theorem of L^2-Betti numbers by Betti numbers for arbitrary coefficient fields and virtually torsionfree amenable groups. The limit of Betti numbers is identified as the dimension of some module over the Ore localization of the group ring.

研究の動機と目的

• アーメン基本群をもつ有限被覆の残余系列に沿うF_pベッチ数の極限を特定すること。
• 任意の特徴数、特に正の特徴数におけるL^2ベッチ数近似定理を拡張すること。
• 群環の加群のOre次元を用いて極限を代数的に表現すること。
• スペクトル系列などのホモロジー代数的手法を用いて極限を計算可能にする。
• 以前のねじれのない群の結果を一般化し、ほとんどすべてのねじれのないアーメン群に対してこの結果を確立すること。

提案手法

• kGに属する零でない元の乗法的集合S = kG ∖ {0} における群環kGのOre局域化を用い、kGに零因子がなければ歪体を形成する。
• 極限を代数的に定義するために、dim^Ore_{kG}(M) = dim_{S^{-1}kG}(S^{-1}kG ⊗_{kG} M) というOre次元関数を適用する。
• 局所化された環上のホモロジーを計算するために、スペクトル系列の議論（例：Hochschild-Serre）を用いる。
• アーメン群論における部分加法的関数の収束原理（Lindenstrauss-Weiss, Weiss）に依拠して、極限の存在を確立する。
• 体埋め込みを用いて、特徴数0の状況をCに還元し、既知のvon Neumann次元とOre次元に関する結果を活用する。
• 普遍係数定理を用いて、特に特徴数0とpの間で異なる体上のベッチ数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーメン群に対する有限被覆の残余系列に沿って、正規化されたF_pベッチ数の極限は存在するか？
• RQ2 存在する場合、この極限は群環およびその局域化を用いて完全に代数的に表現可能か？
• RQ3 極限は特に正の特徴数において、体の選択に依存するか？
• RQ4 有限自由G-CW複体について、極限はホモロジー加群のOre次元に等しいか？
• RQ5 スペクトル系列などのホモロジー代数的手法を用いて、極限を計算可能か？

主な発見

• 正規化されたF_pベッチ数の極限 lim_{n→∞} dim_k H_i(G_n\X; k) / [G:G_n] は、有限自由G-CW複体Xに対して存在し、Ore次元 dim^Ore_{kG}(H_i(X)) に等しい。
• 有限生成kG加群Mに対して、極限 lim_{n→∞} dim_k (k ⊗_{kG_n} M) / [G:G_n] は dim^Ore_{kG}(M) に等しい。
• ほとんどすべてのねじれのないアーメン群で、零因子予想を満たす群に対して、極限は残余系列の選択に依存しない。
• 特徴数pにおいて、極限はL^2ベッチ数よりも厳密に大きくなることがある。これは体kに依存することを示している。
• 例6.2は、dim^Ore_{kG}(H_i(X;k)) が体kの特徴数に依存することを示している：char(k) ≠ p のとき0、char(k) = p のとき1である。
• ほとんどすべてのねじれのない初等アーメン群に対して、正規化されたベッチ数 b_i(G/G_n; k)/[G:G_n] は、i ≥ 1 であっても極限で0に収束する。