[論文レビュー] The Logarithmic Sobolev Inequality in Infinite dimensions for Unbounded Spin Systems on the Lattice with non Quadratic Interactions

Ioannis Papageorgiou|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非二次的かつ非厳密凸な相互作用を有する1次元非有界スピン系における無限体積ギブズ測度に対して、対数ソボレフ不等式（LSq）が成り立つための条件を確立する。単一サイトの条件付き測度に対する一様LSqを仮定し、新規の相関の崩壊基準を導入することで、相互作用の2階微分が有界でない場合でさえも、全無限体積測度へのLSqの拡張が可能である。

ABSTRACT

We are interested in the Logarithmic Sobolev Inequality for the infinite volume Gibbs measure with no quadratic interactions. We consider unbounded spin systems on the one dimensional Lattice with interactions that go beyond the usual strict convexity and without uniform bound on the second derivative. We assume that the one dimensional single-site measure with boundaries satisfies the Log-Sobolev inequality uniformly on the boundary conditions and we determine conditions under which the Log-Sobolev Inequality can be extended to the infinite volume Gibbs measure.

研究の動機と目的

• 非有界スピン系における有限次元から無限次元ギブズ測度への対数ソボレフ不等式（LSq）の拡張を目的とする。
• 第二階微分が無限大である、すなわち ||∇i∇jV(xi,xj)||∞ = ∞ となる相互作用を考慮することで、既存理論におけるギャップを埋める。
• 無限体積ギブズ測度が一様にLSqを満たすための十分条件を提示するが、一様凸性や有界曲率の仮定は不要である。
• 従来の結果が相互作用ポテンシャルのヘッセ行列の有界性を仮定していたのを、より一般な非二次的相互作用へ一般化する。
• 高次元格子へのLSq結果の拡張および修正されたLS不等式への応用の基盤を築く。

提案手法

• 境界条件 ω に依存しない一様LSqを単一サイトの条件付き測度 E^{i,ω} に対して仮定する。
• ギブズ測度下での局所関数の共分散に、相関の崩壊条件（H2）を導入する。
• 有限体積近似スキームを用い、体積 Λ の有限集合に局所化されたギブズ測度を用い、単一サイトでの一様LSqを用いて全測度を制御する。
• 境界条件の影響を制御するためのスイーピングアウト・アーギュメントを適用し、局所的推定からグローバルLSqを導出する。
• 1次元格子の構造と近接スピン相互作用の性質を用いて、近似における誤差項を制御する。
• 主結果を、仮定（H0）、（H2）、（H3）の検証に還元する。ここで（H0）は単一サイトLSqの保証、（H2）は相関の崩壊制御、（H3）はポテンシャルの可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用ポテンシャルの第二階微分が無限大である場合、無限体積ギブズ測度に対して対数ソボレフ不等式が成り立つ条件は何か？
• RQ2 相互作用のヘッセ行列の有界性を仮定しない場合、単一サイトの条件付き測度から全無限体積ギブズ測度へのLSq不等式を拡張することは可能か？
• RQ3 厳密凸性や有界曲率が成り立たない状況で、相関の崩壊推定をどのように用いてグローバルLSq定数を制御できるか？
• RQ4 同様の単一サイト測度および相互作用の崩壊条件が成り立つ場合、高次元格子へのLSq結果の拡張は可能か？
• RQ5 [G-G-M] における修正された対数ソボレフ不等式の形式に、この枠組みを非二次的相互作用へ適応可能か？

主な発見

• 単一サイトの条件付き測度が境界条件に依存しない一様LSqを満たす限り、無限体積ギブズ測度は系のサイズに依存しない定数を伴う q-Log-Sobolev 不等式を満たす。
• 主結果は仮定（H0）、（H2）、（H3）の下で確立され、（H0）は単一サイトでの一様LSq、（H2）は相関の崩壊制御、（H3）はポテンシャルの可積分性を保証する。
• 証明戦略は、無限体積問題を有限体積近似に還元し、単一サイトでの一様LSqとスイーピングアウト・アーギュメントを活用する。
• φ(x) = |x|^t かつ V(x,y) = |x−y|^r の例では、max{r, (r−1)q} < t のとき条件を満たす。
• 結果は木構造のグラフへも拡張可能であり、高次元への類似結果への道筋を示唆するが、実現には非自明な課題が残る。
• この枠組みは[G-G-M]の修正LS不等式へも適応可能であるが、スイーピングアウトの関係性やより強い仮定の検討が今後の課題となる。