[論文レビュー] The Lost Melody Phenomenon

Merlin Carl|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限時間計算モデルにおけるロスト・メロディ現象を調査し、unresetting infinite time register machines (wITRM) ではロスト・メロディが生じないことを証明している。一方、特定の順序数に対して、resetting α-register machines ではその現象が存在することを示している。主な貢献は、さまざまな無限時間マシンモデルにおける認識可能性が計算可能性を意味する条件を明確に特定することにある。

ABSTRACT

A typical phenomenon for machine models of transfinite computations is the existence of so-called lost melodies, i.e. real numbers $x$ such that the characteristic function of the set $\{x\}$ is computable while $x$ itself is not (a real having the first property is called recognizable). This was first observed by J. D. Hamkins and A. Lewis for infinite time Turing machine, then demonstrated by P. Koepke and the author for $ITRM$s. We prove that, for unresetting infinite time register machines introduced by P. Koepke, recognizability equals computability, i.e. the lost melody phenomenon does not occur. Then, we give an overview on our results on the behaviour of recognizable reals for $ITRM$s. We show that there are no lost melodies for ordinal Turing machines or ordinal register machines without parameters and that this is, under the assumption that $0^{\sharp}$ exists, independent of $ZFC$. Then, we introduce the notions of resetting and unresetting $α$-register machines and give some information on the question for which of these machines there are lost melodies.

研究の動機と目的

• unresetting infinite time register machines (wITRM) において、実数が認識可能ではあるが計算不能であるというロスト・メロディ現象が生じるかどうかを特定すること。
• 特に構成可能階層と定義可能性に関連して、無限時間レジスタマシン (ITRM) における認識可能な実数の挙動を分析すること。
• パラメータなしの順序数チューリングマシン (OTM) および順序数レジスタマシン (ORM) においてロスト・メロディが存在するかどうかを調査し、0# の仮定のもとで、この問いが ZFC から独立であるかどうかを評価すること。
• resetting および unresetting α-register machines を導入・比較し、どの順序数 α に対してロスト・メロディが生じるかを特定すること。
• 特に構成可能宇宙 L と L 内のインデックスの存在に関連して、無限時間モデルにおける計算可能性と認識可能性の境界を明確にすること。

提案手法

• wITRM (unresetting ITRM) に対して、liminf レジスタ値を用いた極限挙動の分析により、可算計算長と liminf 極限規則のおかげでオーバーフローが発生しないことから、認識可能性が計算可能性を意味することを証明する。
• 記述的集合論および細密構造論の結果を適用し、α = ω の場合、wITRM にはロスト・メロディが存在しないが、α = ω+1 の場合には存在することを示す。
• L_δ 内の実数の基本的核となるような、α よりも大きい最小の極限インデックス γ > α が存在することを用い、L_γ が定義可能であること、従って一意な最小の実数をコードすることを示す。
• Shoenfield の絶対性を適用し、α ≥ ω₁ の場合、パラメータなし ORM 計算可能と wITRM 計算可能が一致することを示し、その結果、このようなモデルではロスト・メロディが存在しないことを示す。
• L_{γ+2} 内の真偽述語を用いて、ω と L_γ 間の定義可能な全単射を構成し、γ+1 がインデックスであること、従って L_γ が認識可能であることを証明する。
• L_ζ+2 の構造を分析し、L_ζ のコードの <_L 最小性を検証する。最小のコードは L_{ζ+2} 内に存在するため、真偽述語の評価によって確認可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 unresetting infinite time register machines (wITRM) はロスト・メロディ現象を示すか、すなわち認識可能ではあるが計算不能な実数が存在するか？
• RQ2 どの順序数 α に対して resetting α-register machines がロスト・メロディを許容するか？そのような α の上限は何か？
• RQ3 パラメータなしの ordinal Turing machines (OTM) および ordinal register machines (ORM) はロスト・メロディを許容するか？この問いは ZFC から独立であるか？
• RQ4 α ≥ ω₁ の場合、wITRM における計算可能性と認識可能性の関係は何か？この関係はロスト・メロディの不在を示唆するか？
• RQ5 α-register machines におけるロスト・メロディの存在は、構成可能階層および L 内のインデックスの存在に関して特徴づけられるか？

主な発見

• unresetting infinite time register machines (wITRM) にはロスト・メロディが存在しない。これは、可算計算長と liminf 極限規則のおかげで、認識可能性が計算可能性を意味するからである。
• resetting α-register machines においては、ロスト・メロディが存在するための必要十分条件は α < ω₁ が無限であることであり、このような実数は L_γ 層の最小コードとして構成可能である。
• unresetting α-register machines においては、α = ω+1 の場合にロスト・メロディが存在するが、ある可算な γ < ω₁ に対してすべての α ≥ γ では存在しなくなる。これは明確な閾値を示している。
• パラメータなしの場合、ORM および OTM の認識可能な実数の集合は、L 内の構成可能実数と一致し、Shoenfield の絶対性のおかげでロスト・メロディは存在しない。
• OTM にパラメータを用いる場合、ロスト・メロディの存在は 0# が存在すると仮定すると ZFC から独立である。これは集合論的決定可能性における基礎的限界を示している。
• α ≥ ω₁ の場合、wITRM 計算可能と ORM 計算可能は一致し、すべての計算が可算であるためオーバーフローが発生せず、したがってこれらのモデルではロスト・メロディが存在しない。