[论文解读] The low-dimensional structures that tricategories form

Richard Garner, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文首先将三范畴及其同态构成一个双范畴，再将其提升为局部双双范畴——一种三维范畴结构。证明了任一足够良好的局部双双范畴均可导出一个三范畴，从而确立了以三范畴为对象、三范畴同态为态射的三范畴的存在性。

ABSTRACT

We form tricategories and the homomorphisms between them into a bicategory. We then enrich this bicategory into an example of a three-dimensional structure called a locally double bicategory, this being a bicategory enriched in the monoidal 2-category of weak double categories. Finally, we show that every sufficiently well-behaved locally double bicategory gives rise to a tricategory, and thereby deduce the existence of a tricategory of tricategories.

研究动机与目标

• 将三范畴及其同态的集合形式化为高阶范畴结构。
• 证明在适当的2-胞态构造下，三范畴自然构成一个双范畴。
• 将此双范畴在弱双范畴的张量2-范畴中进行 enrich，得到一个局部双双范畴，该结构能捕捉弱2-范畴中的高阶一致性。
• 证明任一足够良好的局部双双范畴均可导出一个三范畴，从而实现三范畴的三范畴的构造。
• 确立一个三范畴的存在性，其对象为三范畴，态射为强同态，2-胞态为它们之间的变换。

提出的方法

• 通过将同态之间的变换定义为适当的2-胞态，从三范畴及其同态构造一个双范畴。
• 在弱双范畴的张量2-范畴中对这一双范畴进行 enrich，得到一个局部双双范畴。
• 利用弱双范畴的一致性理论，确保 enrich 过程尊重三范畴结构。
• 应用一个一般性构造，为任一足够良好的局部双双范畴分配一个三范畴。
• 验证所得三范畴满足三范畴的公理，包括复合与单位的一致性条件。
• 确立该构造是函子性的，并保持三范畴之间预期的范畴关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 三范畴及其同态的集合能否被组织为高阶范畴结构？
• RQ2 如何对三范畴的双范畴进行 enrich，以结构化地捕捉高阶一致性？
• RQ3 何种条件可确保局部双双范畴导出一个三范畴？
• RQ4 是否存在一个明确定义的三范畴，其对象为三范畴，态射为三范畴同态？
• RQ5 弱双范畴在实现三范畴结构中扮演何种角色？

主要发现

• 三范畴及其同态的双范畴可自然地 enrich 为一个局部双双范畴。
• 任一足够良好的局部双双范畴均可导出一个三范畴，提供了普遍的构造原则。
• 通过此构造确立了三范畴的三范畴的存在性，解决了高阶范畴理论中的基础性问题。
• 该构造保持了三范畴之间预期的范畴关系，包括复合与一致性数据。
• 该方法为从弱双范畴结构系统地生成三范畴提供了途径。
• 结果证实三范畴构成一个一致的高阶范畴，支持其在高阶代数与几何中的应用。