[論文レビュー] The Macroscopic Approach to Extended Thermodynamics with 14 Moments, Up to Whatever Order

S. Pennisi, Maria Cristina Carrisi|ArXiv.org|Mar 1, 2007

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ペンジとルッジェリが提唱した新規手法を活用することで、熱力学的平衡からのずれの任意の次数まで閉じ込めることを可能にする、14モーメントを用いた拡張熱力学のマクロスコピックなアプローチを提示する。エントロピー原理およびガリレオ変換不変性を用いてエントロピー密度およびフラックスの条件を導出し、その結果得られる系が対称双曲型であることを示し、信号の有限伝播速度およびコーシー問題の適切な定式化を保証する。これは、特定の解しか得られない運動論的アプローチよりもより一般な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Extended Thermodynamics is the natural framework in which to study the physics of fluids, because it leads to symmetric hyperbolic systems of field laws, thus assuming important properties such as finite propagation speeds of shock waves and well posedness of the Cauchy problem. The closure of the system of balance equations is obtained by imposing the entropy principle and that of galilean relativity. If we take the components of the mean field as independent variables, these two principles are equivalent to some conditions on the entropy density and its flux. The method until now used to exploit these conditions, with the macroscopic approach, has not been used up to whatever order with respect to thermodynamical equilibrium. This is because it leads to several difficulties in calculations. Now these can be overcome by using a new method proposed recently by Pennisi and Ruggeri. Here we apply it to the 14 moments model. We will also show that the 13 moments case can be obtained from the present one by using the method of subsystems.

研究の動機と目的

• 平衡からのずれの任意の次数において有効である14モーメントモデルの体系的マクロスコピックな閉じ込め法の開発。
• エントロピー原理およびガリレオ不変性を高次展開に適用する際の長年の計算的困難の克服。
• 得られる場の運動方程式が対称双曲型系を形成することを示し、信号の有限伝播速度および適切に定式化された問題を保証すること。
• 13モーメントモデルが、部分系の方法によって14モーメントモデルの部分系として得られることを示すこと。
• 運動論的アプローチが、マクロスコピック法によって得られるより広い解のクラス内での特定の解に相当することを確立すること。

提案手法

• 本稿では、平均場成分を独立変数として扱うことで、エントロピー原理およびガリレオ不変性を用いてエントロピー密度およびフラックスにかかる制約を導出する。
• ペンジとルッジェリが最近開発した手法を応用し、平衡からのずれの任意の次数までエントロピーポテンシャルおよびフラックスを体系的に展開する。
• ガリレオブーストにおける場の変数の変換則を用いて、ラグランジュ乗数（平均場）にかかる条件を導出し、エントロピー生成およびフラックス構造の不変性を保証する。
• エントロピーポテンシャルおよびフラックスを速度空間上の積分として表現し、分布関数をモーメントでパrameter化することで、エントロピー密度およびフラックス係数の閉形式表現を導出する。
• エントロピーおよび不変性条件から導かれる積分方程式の階層を解くことで閉じ込めを達成し、エントロピーポテンシャルの係数に対する再帰的関係を導出する。
• このアプローチにより、積分定数に任意性を持つ一般解クラスが得られ、運動論的アプローチとは対照的に、特定の分布関数によって定数が固定される特定の解に限定されない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張熱力学の14モーメントモデルを、平衡からのずれの任意の次数においてマクロスコピックなアプローチで閉じ込めることは可能か？
• RQ2 エントロピー原理およびガリレオ不変性を、平衡からのずれの任意の次数まで体系的に適用してエントロピー密度およびフラックスを導出する方法は何か？
• RQ3 14モーメントモデルと13モーメントモデルの関係は何か？ 13モーメントモデルは部分系として導出可能か？
• RQ4 一般性および解構造の観点から、マクロスコピックアプローチは運動論的アプローチとどのように対比されるか？
• RQ5 得られる場の運動方程式の構造的性質（例：対称双曲型性、有限信号速度）は何か？

主な発見

• 本稿は、平衡からのずれの任意の次数まで閉じ込めることに成功した、14モーメント拡張熱力学の最初の体系的閉じ込めを達成し、長年の計算的課題を解決した。
• 得られる場の運動方程式は対称双曲型系を形成し、衝撃波の有限伝播速度およびコーシー問題の適切に定式化された問題を保証する。
• 応力テンソルのトレース条件を課すことにより、13モーメントモデルが14モーメントモデルの部分系として導出され、既知の結果と整合することが確認された。
• マクロスコピックアプローチは、積分定数に任意性を持つ一般解クラスを生成する一方、運動論的アプローチは固定された定数を持つ特定の解に限定される。
• 本手法により、特定の運動論モデルに依存せずにエントロピー密度およびフラックスを直接導出可能であり、運動論的アプローチよりも一般性に優れる。
• 本稿は、エントロピー生成が非負であり、すべての展開次数において第二法則熱力学が満たされることを確認した。