[論文レビュー] The mean volume as a quality measure for polyhedra and meshes

Dimitris Vartziotis, Benjamin Himpel|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ハイブリッドメッシュにおける多面体要素の品質指標として平均体積関数を導入し、三角形分割の平均化による符号付き体積の一般化を実現する。正規化された球面上での勾配上昇を用いた最適化により、四面体、六面体、角柱、角錐、八面体を含む多様な要素が理想形状に正則化され、有限要素法への応用に適した高速で効率的な幾何的要素変換（GETMe）手法が可能となる。

ABSTRACT

The signed volume function for polyhedra can be generalized to a mean volume function for volume elements by averaging over the triangulations of the underlying polyhedron. If we consider these up to translation and scaling, the resulting quotient space is diffeomorphic to a sphere. The mean volume function restricted to this sphere is a quality measure for volume elements. We show that, the gradient ascent of this map regularizes the building blocks of hybrid meshes consisting of tetrahedra, hexahedra, prisms, pyramids and octahedra, that is, the optimization process converges to regular polyhedra. We show that the (normalized) gradient flow of the mean volume yields a fast and efficient optimization scheme for the finite element method known as the geometric element transformation method (GETMe). Furthermore, we shed some light on the dynamics of this method and the resulting smoothing procedure both theoretically and experimentally.

研究の動機と目的

• ハイブリッドメッシュにおける四面体、六面体、角柱、角錐、八面体を含む多面体要素の堅牢な品質指標の開発を目的とする。
• 歪んだ多面体要素に起因する有限要素解析におけるメッシュ品質の劣化という課題に取り組む。
• 平行移動およびスケーリングの下での多面体空間の幾何的枠組みを確立し、平均体積関数の最適化によって正則な多面体に収束するメッシュスムージングのための枠組みを構築する。
• 平均体積関数の球面に微分同相な商空間上の勾配フローとして、幾何的要素変換法（GETMe）を形式化する。

提案手法

• 多面体の境界のすべての可能な三角形分割における平均をとることで、多面体の符号付き体積を一般化し、平均体積を定義する。
• 平行移動およびスケーリングの下での多面体の商空間を定義し、これが球面に微分同相であることを示し、幾何的最適化を可能にする。
• 平均体積関数をこの球面上に制限することで、体積要素の滑らかな品質指標を定義する。
• 平均体積関数に対する勾配上昇を適用し、メッシュ要素を理想形状に正則化する。
• 平均体積関数の正規化された勾配フローを導出し、ハイブリッドメッシュ向けの高速かつ効率的なスムージング手法とする。
• 理論的および実験的に、得られた幾何的要素変換法（GETMe）を実装および分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体の符号付き体積を、その体積要素の品質指標として一般化するには、どのようにすればよいか？
• RQ2 平行移動およびスケーリングの下での多面体空間の幾何的構造は何か？ また、これはメッシュ品質最適化とどのように関係するか？
• RQ3 平均体積関数の勾配上昇により、四面体、六面体、角柱、角錐、八面体を含む多様な多面体要素が理想形状に正則化可能か？
• RQ4 平均体積関数の正規化された勾配フローは、有限要素法に適した効率的かつ効果的なメッシュスムージング手法をどのように得られるか？
• RQ5 得られた幾何的要素変換（GETMe）手法の理論的および実験的ダイナミクスは何か？

主な発見

• 平行移動およびスケーリングの下での多面体の商空間は、球面に微分同相であり、最適化に適した自然なリーマン多様体を提供する。
• 平均体積関数の勾配上昇は、四面体、六面体、角柱、角錐、八面体を含むすべての標準的メッシュ要素に対して正則な多面体に収束する。
• 平均体積関数の正規化された勾配フローは、高速かつ効率的なスムージング手法を提供し、直接的に幾何的要素変換法（GETMe）として適用可能である。
• この手法は、球面上での平均体積関数の内在的幾何を活用することで、最適形状への収束を保証する。
• 理論的および実験的分析により、GETMe手法が有限要素シミュレーションにおけるメッシュ品質の向上に、堅牢かつ効率的であることが確認された。