[論文レビュー] The Meniscus on the Outside of a Circular Cylinder from Nanometer to Macroscopic Scales

Yanfei Tang, Shengfeng Cheng|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Polymer Surface Interaction Studies被引用数 1

ひとこと要約

本研究では、円筒形の浴槽内に垂直に挿入された小さな垂直シリンダーの外側に形成されるミネルスのYoung-Laplace方程式を解析的にかつ数値的に解き、ミネルス高さΔhが小規模な容器（L ≪ κ⁻¹）ではR ln(L/R)に比例し、大規模な容器（L ≫ κ⁻¹）ではR ln(κ⁻¹/R)に比例することを明らかにした。これらのスケーリング則の間の遷移はL ≈ 0.4κ⁻¹から4κ⁻¹の範囲に起こり、近似的な解析的式によりナノスケールからマクロスケールにわたるΔhの正確な予測が可能である。

ABSTRACT

We systematically study the meniscus on the outside of a small circular cylinder vertically immersed in a liquid bath in a cylindrical container. The cylinder has a radius $R$ much smaller than the capillary length $\kappa^{-1}$ and the container with radius $L$ is coaxial with the cylinder. In the limit of $L \ll \kappa^{-1}$ we analytically solve the general Young-Laplace equation governing the meniscus profile and show that the meniscus height, $\Delta h$, scales approximately with $R\ln (L/R)$. In the opposite limit $L \gg \kappa^{-1}$, $\Delta h$ becomes independent of $L$ and scales with $R\ln (\kappa^{-1}/R)$. We implement a numerical scheme to solve the general Young-Laplace equation for an arbitrary $L$ and demonstrate the crossover of the meniscus profile between these two limits. The crossover region has been determined to be roughly $0.4\kappa^{-1} \lesssim L \lesssim 4\kappa^{-1}$. An approximate analytical expression has been found, enabling accurate prediction of $\Delta h$ at any values of $L$ that ranges from nanometer to macroscopic scales.

研究の動機と目的

• 小さな垂直シリンダーが液体の浴槽に沈められた際の毛細管ミネルスの断面形状を理解すること。
• ミネルス高さΔhがシリンダー半径Rと容器半径Lにどのように依存するか、さまざまなスケールで特定すること。
• 容器半径Lがキャピラリ長κ⁻¹に対して変化するに従い、Δhの2つの異なるスケーリング則の間の遷移を同定すること。
• ナノスケールからマクロスケールにわたる任意のLに対してΔhを正確に予測できる近似的な解析的式を構築すること。

提案手法

• L ≪ κ⁻¹およびL ≫ κ⁻¹の極限において一般化されたYoung-Laplace方程式を解析的に解き、Δhのスケーリング則を導出する。
• 任意のLに対して完全なYoung-Laplace方程式を数値的に解き、すべてのスケールでミネルス断面を捉える。
• 2つのスケーリング則の間の遷移領域を約0.4κ⁻¹ ≤ L ≤ 4κ⁻¹として特定する。
• 2つの漸近的極限を滑らかに補間する近似的な解析的式を導出し、数値結果と高い一致を得る。
• ナノスケールからマクロスケールにわたるLの全範囲で、解析的および数値的解法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模なLの極限において、小さなシリンダー外側のミネルス高さΔhは容器半径Lにどのように依存するか？
• RQ2 キャピラリ長よりも大きな容器（Lがκ⁻¹に比べて大きい）において、ΔhはLにどのように依存するか？
• RQ3 Lが増加するに従い、Δhの2つのスケーリング則の間の遷移の性質は何か？
• RQ4 ナノスケールからマクロスケールにわたるすべてのスケールで、Δhを正確に予測できる一様な解析的式は存在するか？

主な発見

• L ≪ κ⁻¹の場合、ミネルス高さΔhはおおよそR ln(L/R)に比例する。
• L ≫ κ⁻¹の場合、ΔhはLに依存せず、R ln(κ⁻¹/R)に比例する。
• 2つのスケーリング則の間の遷移は、容器半径Lが約0.4κ⁻¹から4κ⁻¹の間で起こる。
• 任意のLに対してナノスケールからマクロスケールにわたる全範囲でΔhを正確に予測できる近似的な解析的式が導出された。
• 数値的解法により解析的予測が確認され、遷移領域におけるミネルス断面の滑らかな変化が明らかになった。