[論文レビュー] The minimum entropy principle for fluid flows in a nozzle with discontinuous cross-section

Dietmar Kroener, Philippe G. LeFloch+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、断面積が不連続なノズル内の圧縮流体の流れに対して、保存則形式のエントロピー不等式を導出することにより、最小エントロピー原理を確立する。弱解の理論的枠組みを用いて、エントロピー解が離散的最小エントロピー原理を満たすことを証明し、リーマン解法とエントロピー対を用いた有限体積スキームにおいて、数値的安定性および密度の正値性を保証する。

ABSTRACT

We consider the Euler equations for compressible fluids in a nozzle whose cross-section is variable and may contain discontinuities. We view these equations as a hyperbolic system in nonconservative form and investigate weak solutions in the sense of Dal Maso, LeFloch, and Murat. Observing that the entropy equality has a fully conservative form, we derive a minimum entropy principle satisfied by entropy solutions. We then establish the stability of a class of numerical approximations for this system.

研究の動機と目的

• 断面積が変動し、不連続なノズル内の圧縮流体の流れに対して最小エントロピー原理を確立すること。
• ダル・マソ＝レフローチュ＝ムーラー理論を用いて、非保存形式のオイラー方程式の弱解を分析すること。
• エントロピー不等式が完全に保存則形式をとることを示し、非保存積の表現を回避できることを証明すること。
• 有限体積スキームが最小エントロピー原理を保存することを示すことにより、その安定性を証明すること。
• タドモールの最小エントロピー原理を、変動および不連続な断面積を持つノズル流れに拡張すること。

提案手法

• 変動断面積を持つノズル内の圧縮流体のオイラー方程式を、非保存形式の双曲型系として定式化する。
• 不連続な断面積をシステムの一部として扱うために、自明な式 ∂ₜa = 0 を導入する。
• 物理的エントロピー 𝒰 = ρS と、g(S) が厳密に単調減少かつ強凸であるエントロピー対 (g(S), f(U)) を用いて、保存則形式のエントロピー不等式を導出する。
• エントロピー解の理論を適用し、エントロピー関数の凸性を用いて、数値スキームのための離散的エントロピー不等式を導出する。
• リーマン解法をセル界面で用いて数値フラックスを計算する、クローネルとタンの有限体積スキームを適応する。
• 古典的凸性不等式 (4.20) を用いて、スキームが数値的エントロピー不等式を満たすことを示し、離散的設定における最小エントロピー原理を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断面積が不連続なノズル内の圧縮流体の流れに対して、最小エントロピー原理を確立できるか？
• RQ2 このような流れのエントロピー不等式は、非保存積項を避けるために保存則形式にできるか？
• RQ3 最小エントロピー原理と密度の正値性を両方保存する数値スキームを構築できるか？
• RQ4 有限体積スキームの文脈において、離散的エントロピー不等式は連続的エントロピー不等式とどのように関係するか？
• RQ5 数値解が物理的に妥当（例えば、密度が非負）であることを保証するための条件は何か？

主な発見

• ノズル流れのエントロピー不等式が完全に保存則形式をとることを示し、非保存積の表現を避けて分布的解を用いることが可能になる。
• 特定エントロピー S は時間とともに非増加的であり、タドモールの最小エントロピー原理が変動および不連続断面積を持つノズルに一般化される。
• クローネルとタンの有限体積スキームは離散的最小エントロピー原理を満たし、各タイムステップで Sⱼⁿ⁺¹ ≥ min{Sⱼ₋₁ⁿ, Sⱼ₊₁ⁿ} が成り立つことが保証される。
• 最大速度と圧力勾配を含むCFL型条件のもとで、密度 ρⱼⁿ⁺¹ > 0 が保存される。
• 関数 h(ρ, S) = (γ−2)p(ρ,S)/ρ² の凹性と、ルーサノフ型数値フラックスのバウンドに依存した証明が行われる。
• エントロピー不等式において p → ∞ の極限をとると、離散的最小エントロピー原理が得られ、数値解においてエントロピーが時間とともに増加しないことが確認される。