[論文レビュー] The mixed $0$-form/$1$-form anomaly in Hilbert space: pouring new wine into old bottles

Andrew A. Cox, Erich Poppitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 105被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、四次元ゲージ理論における混合 0 形式/1 形式 't Hooft異常——たとえば θ=π における SU(N) Yang-Mills 理論におけるパリティ対称性と中心対称性の異常——が、T³ 上での正準化量化によって、グローバル対称性演算子代数に中心拡張を引き起こすことを示している。異常は、1 形式中心対称性と θ 角シフト演算子の非自明な交換関係として現れ、有限体積におけるハミルトニアンスペクトルの degeneracy を引き起こし、これは無限体積極限における自発的パリティ破れを示唆する。

ABSTRACT

We study four-dimensional gauge theories with arbitrary simple gauge group with $1$-form global center symmetry and $0$-form parity or discrete chiral symmetry. We canonically quantize on $\mathbb{T}^3$, in a fixed background field gauging the $1$-form symmetry. We show that the mixed $0$-form/$1$-form 't Hooft anomaly results in a central extension of the global-symmetry operator algebra. We determine this algebra in each case and show that the anomaly implies degeneracies in the spectrum of the Hamiltonian at any finite-size torus. We discuss the consistency of these constraints with both older and recent semiclassical calculations in $SU(N)$ theories, with or without adjoint fermions, as well as with their conjectured infrared phases.

研究の動機と目的

• 4D ゲージ理論における混合 0 形式/1 形式 't Hooft 異常の起源を、T³ 上での正準化量化の観点から理解すること。
• このような異常が、既知の 2D 結果を 4D に一般化する形で、グローバル対称性代数の中心拡張を引き起こすことを示すこと。
• 異常と有限体積におけるハミルトニアンスペクトルのスペクトル的 degeneracy の直接的な関係を確立すること。
• 中心が非自明なすべての単純ゲージ群（SU(N)、Sp(N)、Spin(N)、E6、E7）への解析の拡張。
• SU(N) 理論（付加的フェルミオンを含む・含まないを問わず）における既存の半古典的および赤外位相の予想と、量子代数的制約を調和させること。

提案手法

• 空間的 T³ 上での 4D ゲージ理論の正準化量化。背景 2 形式 ZN ゲージ場（すなわち、't Hooft フラックス）を固定し、ベクトル ⃗m ∈ ZN³ でラベルされる。
• 対称性演算子の明示的構成：1 形式中心対称性生成子、空間的パリティ（P）、θ 角の 2π シフト。
• 1 形式中心対称性生成子（方向 ⃗m 沿い）と θ シフト演算子の間の非自明な交換関係を導出。θ=π で中心拡張が生じる。
• 群コhomology と遷移関数を用いて、背景フラックスを符号化するねじれた bundle（SU(N)/ZN）を定義。
• 微分形式と Fubini-Study 度量を用いて、T⁴ および CP² 上でのトポロジカルな電荷を計算。非自明なねじれでは分数値を示す。
• 't Hooft フラックスを CP² に一般化し、巡回的および Z₂×Z₂ 中心を有する群（Spin(4N) を含む）に対して、分数トポロジカル電荷を計算。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合 0 形式/1 形式異常は、T³ 上の 4D ゲージ理論の正準演算子代数にどのように現れるか？
• RQ2 異常を伴うとき、対称性演算子（パリティと 1 形式中心対称性）の代数的構造はいかなるものか？
• RQ3 異常は、有限体積におけるハミルトニアンスペクトルのスペクトル的 degeneracy をどのように引き起こすか？
• RQ4 中心が非自明なすべての単純ゲージ群において、対称性代数の中心拡張が一貫して導出可能か？
• RQ5 異常から生じる量子代数的制約は、付加的フェルミオンを有する SU(N) 理論における既知の半古典的および赤外位相行動とどのように関係するか？

主な発見

• 混合 0 形式/1 形式異常は、特に θ=π におけるパリティと 1 形式中心対称性生成子の間で、グローバル対称性演算子代数の中心拡張を引き起こす。
• SU(N) において θ=π のとき、中心拡張された代数は、トーラスのサイズにかかわらず、T³ 上のすべてのエネルギー固有状態に 2 重の degeneracy を示唆する。
• スペクトル的 degeneracy は無限体積極限でも存続し、これは純粋 Yang-Mills 理論の θ=π 相と整合的である。
• 中心拡張は、フラックス方向に沿った 1 形式中心対称性生成子と θ シフト演算子の非自明な交換子から生じる。これは θ=π のみで非ゼロとなる。
• 解析は、中心が非自明なすべての単純ゲージ群（SU(N)、Sp(N)、Spin(N)、E6、E7）に一般化可能であり、T⁴ および CP² 上で一貫した分数トポロジカル電荷が計算される。
• Spin(4N) の場合、フラックス n₊, n₋ を持つ背景では Qtop = (p/2 + 1/4)(n₊² + n₋²) + Z であり、Spin(8p) の場合 Qtop = p/2(n₊² + n₋²) − 1/2n₊n₋ + Z となる。これは CP² 上での既知の結果と一致する。