[論文レビュー] The mixed Einstein-Hilbert action and extrinsic geometry of foliated manifolds

Elisabetta Barletta, Sorin Dragomir+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、foliated多様体に対して、補完的分布からなる平面の断面曲率の平均として定義される総混合スカラー曲率 $ S_{\text{mix}} $ を用いて、混合アインシュタイン＝ヒルベルト作用を導入する。計量の適応的変化（直交性を保つ）に対するEuler-Lagrange方程式を、外的幾何学的記述と部分リッチテンソルを用いた記述の両方で導出し、ねじれ積や特定のPDEを満たす共形計量を含む解が得られる。

ABSTRACT

We develop variation formulas for the quantities of extrinsic geometry for adapted variations of metrics on almost-product (e.g. foliated) Riemannian manifolds, and apply them to study the total mixed scalar curvature of a distribution -- analogue of the classical Einstein-Hilbert action. The mixed scalar curvature ${ m S}_{\, m mix}$ is the averaged sectional curvature over all planes that contain vectors from both distributions of an almost-product structure and the variations we consider preserve orthogonality of the distributions. We derive the directional derivative $D J_{\, m mix}$ (of the total ${ m S}_{\, m mix}$) for adapted variations of metrics on closed almost-product manifolds and foliations of arbitrary dimension. The obtained Euler-Lagrange equations are presented in two equiva\-lent forms: in terms of extrinsic geometry and intrinsically using the partial Ricci tensor. Certainly, these mixed field equations admit amount of solutions (e.g., twisted products).

研究の動機と目的

• almost-productおよびfoliatedリーマン多様体上の計量の適応的変化における外的幾何的量の変分公式を構築すること。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用に類似した作用関数 functional としての総混合スカラー曲率 $ S_{\text{mix}} $ を定義し、それらを研究すること。
• 閉じたfoliated多様体上で、適応的変化の下での総混合スカラー曲率の方向微分 $ DJ_{\text{mix}} $ を導出すること。
• 得られたEuler-Lagrange方程式を、外的幾何学的記述と部分リッチテンソルを用いた2通りの同等な形で提示すること。
• ねじれ積や特定のPDEを満たす共形計量を含む幾何的解（臨界点PDEを満たすもの）を同定すること、特に $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $ を含む。

提案手法

• almost-product構造における2つの直交的かつ非退化な分布からなる平面の断面曲率の平均として混合スカラー曲率 $ S_{\text{mix}} $ を定義する。
• 補完的分布 $ \mathcal{D} $ と $ \widetilde{\mathcal{D}} $ の直交性を保つ計量の適応的変化を考察し、正規バンドル構造が一貫して保たれることを保証する。
• 曲率および第二基本形式を含む変分公式を用いて、総混合スカラー曲率関数 $ J_{\text{mix}} = \int_M S_{\text{mix}} \, d\text{vol}_g $ の第一変分 $ DJ_{\text{mix}} $ を導出する。
• Euler-Lagrange方程式を2通りの形で表現する：外的幾何学的記述（平均曲率および第二基本形式を含む）と、部分リッチテンソル $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $ および $ \text{Ric}^{\widetilde{\mathcal{D}}} $ を用いた記述。
• ユークリッド計量の共形変化を分析し、臨界点PDE $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $ を導出し、半平面における明示的解 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ を構成する。
• 結果をcodimension-one foliationに適用し、$ f(z) = z^2 $ の場合にユークリッド計量が $ \mathbb{R}\nabla u $-臨界でないことを示すが、特定のPDE制約のもとで臨界計量が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 foliated多様体におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用の適切な一般化は何か？ そしてそれは外的曲率とどのように関係するか？
• RQ2 分布の直交性を保つ計量の変化が、総混合スカラー曲率に与える影響は何か？
• RQ3 総混合スカラー曲率関数の臨界計量のEuler-Lagrange方程式は何か？
• RQ4 臨界点方程式は部分リッチテンソルを用いて内挿的に記述可能か？ また、外的幾何学的記述と比べてどう異なるか？
• RQ5 共形計量やねじれ積構造のような明示的解は、臨界点方程式に対して存在するか？

主な発見

• 閉じたalmost-product多様体上で、適応的変化に対する総混合スカラー曲率関数の方向微分 $ DJ_{\text{mix}} $ が導出され、曲率および第二基本形式の項を含む完全な変分公式が得られた。
• 関数 $ J_{\text{mix}} $ のEuler-Lagrange方程式は、外的幾何学的記述（平均曲率および第二基本形式を含む）と部分リッチテンソル $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $ を用いた2通りの同等な形で表されることが示された。
• ユークリッド計量の共形変形により明示的臨界計量が構成され、PDE $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $ を満たす。解 $ \phi(y) = -\log|2y + c| $ により、半平面における計量 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ が得られる。
• x軸に平行な直線によるfoliationに対して、計量 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ は $ \mathcal{D} $-臨界であることが示され、ユークリッド計量以外の非自明な臨界計量の存在が裏付けられた。
• ユークリッド計量は $ f(z) = z^2 $ の場合に $ \mathbb{R}\nabla u $-臨界でない。臨界性条件 $ -2(u_{xx}^2 + u_{xy}^2) + \lambda^{-2}\mathcal{L}(u) + \lambda^{-4}\mathcal{L}(u)^2 = 0 $ が成立しないため、臨界性条件の非自明性が確認された。
• 非線形作用素 $ \mathcal{L}(u) = (u_x^2 - u_y^2)u_{xx} + 2u_x u_y u_{xy} $ は、形状作用素のトレースの式に現れ、レベルfoliationの外的幾何学と関連づけられる。