[論文レビュー] The modified indeterminate couple stress model: Why Yang et al.'s arguments motivating a symmetric couple stress tensor contain a gap and why the couple stress tensor may be chosen symmetric nevertheless

Ingo von Münch, Patrizio Neff+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 49被引用数 54

ひとこと要約

この論文は、Yangらの修正されたカップル応力モデルにおける対称的カップル応力テンソルの仮定を正当化する根拠に、論理的なギャップが存在することを特定し、彼らの議論が人工的な平衡条件に依存していることを示している。カップル応力テンソルが対称である可能性は、全応力が対称的かつトレースレスである場合に保たれることを提案し、応力勾配分解と変分原理に基づく物理的に整合性のある代替案を提示することで、物理法則に反しない対称的カップル応力を正当化している。

ABSTRACT

We show that the reasoning in favor of a symmetric couple stress tensor in Yang et al.'s introduction of the modified couple stress theory contains a gap, but we present a reasonable physical hypothesis, implying that the couple stress tensor is traceless and may be symmetric anyway. To this aim, the origin of couple stress is discussed on the basis of certain properties of the total stress itself. In contrast to classical continuum mechanics, the balance of linear momentum and the balance of angular momentum are formulated at an infinitesimal cube considering the total stress as linear and quadratic approximation of a spatial Taylor series expansion.

研究の動機と目的

• 修正されたカップル応力モデルにおけるYangらのカップル応力テンソルの対称性に関する議論に、論理的ギャップが存在するかを特定すること。
• カップル応力テンソルの対称性を仮定するための物理的に整合性のある代替的根拠を提供すること。
• テイラー展開を用いた全応力場の分析により、カップル応力の物理的起源を明確にすること。
• Yangらの推論が誤っていようとも、カップル応力テンソルの対称性が物理法則に反しないことを示すこと。
• 対称的かつトレースレスな全応力と等方的線形弾性との整合性を図ること。

提案手法

• 微小変形および等方性の仮定の下、2階勾配エネルギーに基づく変分的アプローチを用いてカップル応力モデルを導出すること。
• 全応力場を2次項までテイラー展開し、応力勾配を線形運動量と角運動量のバランスに寄与する寄与に分解すること。
• カップル応力テンソルを角運動量バランスを補う唯一の結果物として特定し、応力勾配から導出すること。
• 全応力場の対称性を強制することで、カップル応力テンソルがトレースレスでなければならないことを導出すること。
• 対称的応力関数を用いてトレースレスな対称的カップル応力を生成し、対称テンソル選択の物理的根拠を提供すること。
• 構成的仮定なしに純粋にバランスに基づいた導出と変分的導出を比較し、一貫性を確認すること。

Figure 1: General affine (left) and conformal mapping (right), which is locally only rotation and dilation.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正されたカップル応力モデルにおけるYangらのカップル応力テンソルの内在的対称性に関する議論に、どのような欠陥が存在するか？
• RQ2 Yangらの根拠が誤っていても、カップル応力テンソルが対称的であることは物理法則に反しないのか？
• RQ3 物理的に整合性のある力学的枠組みにおいて、カップル応力テンソルの対称性を正当化する物理的条件や仮定は何か？
• RQ4 テイラー展開による応力勾配の分解は、角運動量のバランスとどのように関係するか？
• RQ5 カップル応力テンソルがトレースレスかつ対称的になる条件は何か？

主な発見

• Yangらの対称的カップル応力の議論は、物理的根拠のない人工的な平衡条件に依存しているため、誤りである。
• 全応力が対称であれば、カップル応力テンソルは必然的にトレースレスである。これは角運動量保存則の直接的結果である。
• トレースレスで対称的なカップル応力を生成できる対称的応力関数を構築可能であり、これにより対称性の物理的根拠が得られる。
• 内部長尺度 $L_c$ が有限である限り、修正されたカップル応力モデルは古典的弾性論よりも剛性が高く、$L_c^2 \alpha_1 \to \infty$ に伴い剛性が増加する。
• 微小スケールの試料において、曲げおよびねじりの剛性が有界であり、『小さければ強い』サイズ効果と整合的である。
• 全応力場の2次項までのテイラー展開によるアプローチは、カップル応力テンソルが応力勾配に起因することを正しく特定し、角運動量バランスにおけるその役割を正当化している。

Figure 2: Infinitesimal conformal mappings [ 41 ] locally preserve angles and shapes but may be globally inhomogeneous.