[論文レビュー] The moduli space of 5 points on P^1 and K3 surfaces

Shigeyuki Kondō|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、位数5の自己同型を持つK3表面の周期写像を用いて、ℙ¹ 上の5個の順序付き点のモジュライ空間と2次元複素球面商との間の同型を確立する。5つの点に対応する平面5次曲線から構成されたK3表面を構成し、そのホッジ構造と自己同型を分析することで、周期領域が球面均質化であることを示し、デリーニュ＝モストウの枠組みにおいて算術群と結びつける。

ABSTRACT

We show that the moduli space of ordered 5 points on the projective line is isomorphic to an arithmetic quotient of a complex ball by using the theory of periods of K3 surfaces. We also discuss a relation between our uniformization and the one given by Shimura, Terada and Deligne-Mostow.

研究の動機と目的

• 位数5の自己同型を持つK3表面の周期論を用いて、ℙ¹ 上の5個の順序付き点のモジュライ空間の均質化を確立すること。
• このモジュライ空間が2次元複素球面の算術的商と同型であることを示すこと。
• 5重循環被覆の周期を通じて、シムーラ、テラダ、およびデリーニュ＝モストウの古典的球面均質化とこの均質化を結びつけること。
• 位数5の自己同型を持つK3表面と、4次デル・ペッツォ表面のモジュライとの間の幾何学的・算術的関係を調査すること。
• D > 6 の場合のデリーニュ＝モストウの算術群（Γ(μᵢ)）が、特別な自己同型を持つK3表面と関係しているかどうかを調査すること。

提案手法

• 5つの点によって定義される平面5次曲線Cを用いて、E₀ ∪ C を分岐曲線とするℙ² 上の2重被覆の最小解消としてK3表面を構成する。
• ζ を原始的5乗根とするとき、(x₀:x₁:x₂) ↦ (ζx₀:x₁:x₂) による変換によって誘導される、K3表面上の位数5の自己同型σを定義する。
• σによる不変コホモロジーを用いて、周期領域を ℤ[ζ] 上の符号型 (1,2) のヘルミート形式によって定義される2次元複素球面と特定する。
• ニクリンの格子論およびK3表面のトーレリの定理を応用し、5点配置のモジュライ空間から球面商への周期写像が同型であることを示す。
• K3表面と、5点で分岐するℙ¹ 上の5重循環被覆Cと、位数5の自己同型を持つ genus 2 曲線Dの商 (C × D)/(ℤ/5ℤ) の間の双有理同値関係を確立する。
• 得られた球面均質化を、ヘルミート形式およびモノドロミー群の一致を通じて、デリーニュ＝モストウおよびシムーラの結果と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ¹ 上の5個の順序付き点のモジュライ空間は、位数5の自己同型を持つK3表面の周期写像を用いて、複素球面商によって均質化可能か？
• RQ2 位数5の自己同型を持つK3表面の周期領域は、デリーニュ＝モストウおよびシムーラの古典的球面均質化とどのように関係しているか？
• RQ3 5つの点から構成されたK3表面と、それらの点で分岐するℙ¹ 上の5重循環被覆との間の幾何学的関係は何か？
• RQ4 D > 6 の場合のデリーニュ＝モストウのリストに現れる算術部分群 Γ(μᵢ) は、特別な自己同型を持つK3表面のモノドロミー群として実現可能か？
• RQ5 5点配置のモジュライ空間から球面商への周期写像は同型を誘導するか？そのガロア構造は何か？

主な発見

• ℙ¹ 上の5個の順序付き点のモジュライ空間は、2次元複素球面ℬと算術群Γ′の商 ℬ/Γ′ と同型である。
• 位数5の自己同型を持つK3表面の周期領域は、ζ を原始的5乗根とする ℤ[ζ] 上の符号型 (1,2) のヘルミート形式によって定義される複素球面である。
• 5点配置のモジュライ空間から ℬ/Γ′ への周期写像は同型である。これは、トーレリの定理と自己同型の保存性による単射性と、ザリスキの主要定理による全射性によって証明される。
• 5つの点に対応するK3表面は、5点で分岐するℙ¹ 上の5重循環被覆Cと、位数5の自己同型を持つ genus 2 曲線Dの商 (C × D)/(ℤ/5ℤ) と双有理同値である。
• 球面均質化に用いられるヘルミート形式は、シムーラ、テラダ、およびデリーニュ＝モストウの研究と一致し、両者の均質化の間の直接的な関係を確立する。
• 特異な4次デル・ペッツォ表面のモジュライ空間は、ℙ¹ 上の5個の順序付き点のモジュライ空間と同型であり、したがって同じ複素球面商によって均質化可能である。