[論文レビュー] The moments of the distance between two random points in a regular polygon

Uwe Bäsel|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、外接半径 r の正 n 角形内に一様にランダムに配置された2点間の距離のモーメントについて、閉形式の解析的表現を導出する。幾何確率と Voss による弦のべき積分に関する結果を用い、第1、第2、第4モーメントについて正確な公式を提示する。n = 5, 8, 10, 12 についての新規結果と、n ≤ 30 までの高精度値を含む。

ABSTRACT

In this paper, we derive formulas for the analytical calculation of the moments of the distance between two uniformly and independently distributed random points in an $n$-sided regular polygon. A number of closed form expressions is provided, e.g. the expected distances for $n = 3,4,5,6,8,10,12$, where the results for $n = 5,8,10,12$ are new to the best of the author's knowledge. Applying results of Voss, remarkably short formulas for the second and the fourth moments are derived.

研究の動機と目的

• 正 n 角形内に一様にランダムに配置された2点間の距離の m 次モーメントの解析的公式を導出すること。
• 特定の正多角形について、平均距離（第1モーメント）および高次モーメント（第2、第4）の閉形式表現を提供すること。
• 著者らの知る限り、n = 5, 8, 10, 12 についての新しい正確な公式を提供することで、幾何確率分野の既存結果を拡張すること。
• Voss らの既知の結果を活用し、第2および第4モーメントの簡潔な表現を導出すること。
• 正五角形について、第1モーメント（75–76桁）および最大で第10モーメントまでの高精度数値値（75–76桁）を提供すること。

提案手法

• 先行研究から得られた弦長分布関数 F_{n,r} の簡略化された形を導出し、その後続するモーメント計算を可能にする。
• 累積分布関数 G_{n,r} を用いて積分によりモーメントを計算し、原始関数を閉形式で導出する。
• Voss の結果を応用し、第2モーメント M_2(P_{n,r}) に対して極めて短い公式を獲得し、分散計算を簡略化する。
• 文献[30]における第2面積モーメントの慣性に関する結果を応用し、第4モーメント M_4(P_{n,r}) の簡潔な表現を導出する。
• モーメントを π/n の三角関数関数で表現することで、任意の n について正確な記号的評価が可能になる。
• n → ∞ のとき、M_4(P_{n,r}) → (5/3)r^4 となることから、既知の円の極限値と一致することを示し、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外接半径 r の正 n 角形内に一様にランダムに配置された2点間の距離の m 次モーメント M_m(P_{n,r}) の正確な閉形式表現は、m = 1, 2, 4 および特定の n に対してどのように得られるか？
• RQ2 幾何確率分野の既知の結果を用いることで、第2および第4モーメントをいかに極めて短い形に表現できるか？
• RQ3 n = 3 から 30 までの M_1(P_{n,r})/r の高精度値（75–76桁）および m = -1 から 10 までの M_m(P_{5,r})/r^m の高精度値は何か？
• RQ4 n が増加する際、正多角形のモーメントはどのように円のモーメントに収束するか？
• RQ5 弦のべき積分 S_m(P_{n,r}) とモーメント M_m(P_{n,r}) の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿では、任意の n ≥ 3 に対して有効な、第4モーメント M_4(P_{n,r}) = (r^4 / 90)(77 + 64 cos(2π/n) + 9 cos(4π/n)) の新しい閉形式表現を導出する。
• 第2モーメントについては、次式の簡潔な公式が得られる：M_2(P_{n,r}) = (2r^4 / 45)(8 + 6 cos(2π/n) + cos(4π/n)) + (r^4 / 18)(9 + 8 cos(2π/n) + cos(4π/n))。これは分散計算を簡略化する。
• 第1モーメント M_1(P_{n,r}) は、n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 について閉形式で計算可能であり、n = 5, 8, 10, 12 については著者らの知る限り新規の結果である。
• n = 3 から 30 までの M_1(P_{n,r})/r および m = -1 から 10 までの M_m(P_{5,r})/r^m について、75–76桁の高精度値を提供する。
• n → ∞ のとき、第4モーメントは (5/3)r^4 に収束し、これは円の既知の結果と一致する。これにより、極限ケースとの一貫性が確認される。
• 弦のべき積分 S_2(P_{6,r}) は約 12.568534 r^3 として計算され、本結果が幾何積分幾何学への応用可能性を示している。