[論文レビュー] The Monge-Ampère equation on almost complex manifolds

Szymon Pliś|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼ複素多様体における厳密に擬強凸領域におけるMonge-Ampère方程式のDirichlet問題に対して、滑らかな解の存在と一意性を確立する。複素幾何学における結果を非可積分なほぼ複素構造へと拡張するため、擬ポテンシャル論および$J$-擬サブハーモニック関数の理論を用いて、与えられた滑らかな境界データと体積形式に対して、一意的な滑らかな解が存在することを証明する。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation on almost complex manifolds. We obtain the existence of the unique smooth solution of this problem in strictly pseudoconvex domains.

研究の動機と目的

• 複素Monge-Ampère方程式の理論を可積分でないほぼ複素構造へと拡張すること。
• ほぼ複素多様体における厳密に擬強凸領域におけるMonge-Ampère方程式のDirichlet問題に対する滑らかな解の存在と一意性を確立すること。
• 標準的複素構造を伴う$\mathbb{C}^n$などの複素幾何学で知られている結果（例：$\mathbb{C}^n$における結果）を、より広範なほぼ複素多様体の設定へと一般化すること。
• 可積分でないほぼ複素構造が存在する場合、特に非連結な厳密に擬強凸境界を有する領域に対しても、Dirichlet問題を解くための枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿では、滑らかな$J$-擬サブハーモニック関数$u$に対して、$(1,1)$-現在$ i\partial\bar{\partial}u $を用いてMonge-Ampère作用素を定義し、その$n$乗を体積形式として考察する。
• 局所座標と$T^{1,0}M$のフレーム$\zeta_1, \dots, \zeta_n$を用いて、$i\partial\bar{\partial}u$を係数$A_{p\bar{q}}(u)$の項で表現し、$J$の非可積分性を反映させる。
• 滑らかな解の存在は連続的変形法と滑らかな厳密に擬サブハーモニック関数による近似を用いて証明され、$J$-擬サブハーモニック関数のための比較原理に依拠する。
• Newlander-Nirenbergの定理を用いて、可積分なほぼ複素構造を複素構造と関連づけ、可積分な場合に標準的手法を用いる根拠を示す。
• 境界データの滑らかな近似列を構成し、比較原理を用いて、解の$\mathcal{C}^0$位相における収束を示す。
• 連続的な最大擬サブハーモニック関数が局所的に最大であることを証明し、これによりDirichlet問題の解が一意的かつ連続的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分でないほぼ複素多様体の設定において、Monge-Ampère方程式のDirichlet問題を解くことは可能か？
• RQ2 領域および境界データに課されるどのような条件下で、Monge-Ampère方程式の滑らかな解の存在と一意性が保証されるか？
• RQ3 ほぼ複素構造の非可積分性は、Monge-Ampère作用素の挙動およびDirichlet問題の可解性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 境界データが十分に滑らかであれば、非可積分な場合においてもDirichlet問題の解はリプシッツ連続であるか？
• RQ5 ほぼ複素幾何学における最大関数の理論は、局所的最大性および比較原理を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• 本稿は、ほぼ複素多様体における$\mathcal{C}^\infty$級の厳密に擬強凸領域において、Dirichlet問題$(i\partial\bar{\partial}u)^n = dV$に対する滑らかな解$u$の存在と一意性を証明する。
• 解$u$は$J$-擬サブハーモニックであり、$\mathcal{PSH}(\Omega) \cap \mathcal{C}^\infty(\bar{\Omega})$に属し、滑らかな境界データ$\varphi$に対して$\partial\Omega$上で$u = \varphi$を満たす。
• 境界データ$\varphi$が十分に滑らかであれば、解がリプシッツ連続であることが示され、HarveyとLawsonによる先行結果を改善する。
• 連続的な最大擬サブハーモニック関数が局所的に最大であることが確立され、このような関数はDirichlet条件のもとで一意的であることが示される。
• $\mathcal{F}(J)$-調和関数（厳密に擬サブハーモニック関数との比較によって定義）が、$\mathcal{C}^0$類において最大擬サブハーモニック関数と一致することを証明する。
• 結果として、複素Monge-Ampère理論が可積分でないほぼ複素構造へと一般化され、複素の場合と同様の幾何学的・解析的条件下でDirichlet問題が依然として可解であることが示される。