[論文レビュー] The Morava E-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces

Eric Peterson|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Eilenberg-Mac Lane 空間 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の完成化された Morava $E$-ホモロジーについて、コhomological および形式的スキームの記述を確立し、それが $\mathbb{C}P^\infty_E$ の形式的群に付随する $p$-可除群の $q$-重外積に同型であることを証明する。この結果は、変形論的双対性と余代数的形式的スキームを用いて、Ravenel-Wilson の $K$-ホモロジー計算を $E$-理論へと拡張するものである。

ABSTRACT

We deform the Ravenel-Wilson computation of the Morava K-homology of Eilenberg-Mac Lane spaces to obtain a similar description of their completed Morava E-homology. This yields both a cohomological description and an interpretation on the level of formal schemes: the scheme associated to the E-cohomology of the space K(Z/p^infty, q) is the qth exterior power of the p-divisible group associated to the versal infinitesimally deformed formal group over Lubin-Tate space.

研究の動機と目的

• Eilenberg-Mac Lane 空間の Morava $E$-ホモロジーの長年の予想された記述を、厳密に証明すること。これは、Ravenel-Wilson の $K$-ホモロジーに関する結果を $E$-理論へと拡張するものである。
• 形式的スキームと双対性を用いて、$E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ のコhomological 解釈を確立すること。
• $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の $E$-コホモロジーが、$\mathbb{C}P^\infty_E$ の $p$-可除群の $q$-重外積に一致することを示すこと。
• $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ の形式的スキームの存在を検証し、余代数の良い基底条件を用いて $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ との同型を示すこと。

提案手法

• $X = K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ に対して、$X_E = \operatorname{Spf}(E^*X)$ を有限部分複体の列挙極限を用いて形式的スキームとして構成する。
• $E_*$-ホモロジーと形式的スキームのカルティエ双対の間の双対性を用いて、$E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ と $\underline{\operatorname{Hom}}(K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E, \hat{\mathbb{G}}_m)$ を関連付ける。
• $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ が余代数として $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ に同型であることを示す。
• $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ および $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ が「良い基底」を備えていることを確立し、それにより余代数と形式的スキームの双対性が保証されることを示す。
• Strickland の列挙交換公式を適用して、$\operatorname{sch}(\operatorname{colim} U_i) = \operatorname{colim} \operatorname{sch}(U_i)$ を示し、$(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ の存在を証明する。
• $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q} \to K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ の写像が形式的スキームとしての同型であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完成化された Morava $E$-ホモロジー $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ は、$\mathbb{C}P^\infty_E$ に付随する $p$-可除群の $q$-重外積とどのように関係しているか？
• RQ2 $E$-コホモロジー $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ は、余代数との双対性を用いて形式的スキームとして記述可能か？
• RQ3 $B\mathbb{Z}/p^\infty_E$ の $p$-可除群の $q$-重外積は形式的スキームとして存在し、$K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の $E$-コホモロジーを表すか？
• RQ4 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の余代数的構造が、適切な形式的スキームに対応するための条件は何か？
• RQ5 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ と $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の同型は、形式的スキームの同型に引き上げ可能か？

主な発見

• $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ の $E$-コホモロジーは、$\mathbb{C}P^\infty_E$ に付随する $p$-可除群の $q$-重外積に同型であり、すなわち $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E \cong (B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ である。
• $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ は $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ に同型であり、外積構成と双対性を確立する。
• 形式的スキーム $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ は存在し、関係する余代数の良い基底性を用いて $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ と同型である。
• ホモロジー余代数間の同型は、それらのカルティエ双対にも引き継がれ、スキーム論的同定が確認される。
• $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ の余代数の列挙は、関連する形式的スキームの列挙に対応し、構成の正当性が裏付けられる。
• この結果は、Strickland の付録にも見られるように、$E$-ホモロジーが $K$-ホモロジーの結果を変形論的双対性を介して反映するという、長年の文献上の期待を裏付けるものである。