[論文レビュー] The Mori-Zwanzig formalism for the derivation of a fluctuating heat conduction model from molecular dynamics

Weiqi Chu, Xiantao Li|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Thermal properties of materials参考文献 93被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モリ＝ツワンツィッヒ形式を用いて分子動力学から確率的で非マルコフ型の粗視化モデルを導出し、局所的エネルギーを粗視化変数として扱い、記憶依存性を排除するためのマルコフ埋め込みを適用することで、乗法的ノイズを有する一般化ランジュバン方程式を構築した。この方程式は、エネルギーとフラックスの非ガウス型平衡統計を正確に捉えており、ナノスケールにおけるフラクチュエーティング熱輸送の効率的シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

Energy transport equations are derived directly from full molecular dynamics models as coarse-grained description. With the local energy chosen as the coarse-grained variables, we apply the Mori-Zwanzig formalism to derive a reduced model, in the form of a generalized Langevin equation. A Markovian embedding technique is then introduced to eliminate the history dependence. In sharp contrast to conventional energy transport models, this derivation yields {\it stochastic} dynamics models for the spatially averaged energy. We discuss the approximation of the random force using both additive and multiplicative noises, to ensure the correct statistics of the solution.

研究の動機と目的

• 直接の非平衡分子動力学（MD）シミュレーションの高コストと制限を克服する計算効率の良い粗視化熱伝導モデルの開発を目的とする。
• MDが計算的に非現実的となるナノ構造における実際の温度勾配と一時的熱伝導のシミュレーションの課題に対処することを目的とする。
• エネルギーとフラックスの非ガウス型統計を正しく捉えることができる確率的モデルを導出することを目的とする。これは、フォーリエの法則のような従来の決定論的モデルでは記述できない。
• 第一原理的なMDから直接、非局所的で確率的な熱フラックスの構成関係を導くフレームワークを確立することを目的とする。これにより、熱方程式に対する恣意的な修正を回避できる。

提案手法

• 全分子動力学からの空間平均エネルギーに対する一般化ランジュバン方程式（GLE）を、モリ＝ツワンツィッヒ形式を用いて導出する。この際、局所的エネルギーを粗視化変数として用いる。
• GLEにおける履歴依存性を排除するために、マルコフ埋め込み技術を用い、それをマルコフ型確率微分方程式（SDE）に変換する。
• 解の正しい平衡統計を保証するために、SDEに乗法的ノイズを導入する。拡散係数はエネルギーおよびフラックス変数の両方に依存する。
• エネルギーとフラックスの連合確率密度関数（PDF）を、ガンマ分布とラプラス分布の組み合わせでモデル化し、非ガウス統計を表現する。
• 定常状態のフォッカー＝プランク方程式を導出し、仮定された連合PDFとバランス条件を用いてSDEの拡散係数を解く。
• 直接MDシミュレーションとの比較により、エネルギーとフラックスのシミュレーテッドPDFを検証し、良好な一致を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モリ＝ツワンツィッヒ形式を用いて、分子動力学から体系的に粗視化確率的熱伝導モデルを導出できるか？
• RQ2 粗視化ダイナミクスにおける記憶効果は、どのようにして除去可能であり、同時に正しい統計的性質を保持できるか？
• RQ3 分子動力学で観測されるエネルギーとフラックスの非ガウス型平衡統計を再現するために、どのような乗法的ノイズの形が必要か？
• RQ4 得られた確率的モデルは、ナノスケール系におけるエネルギーとフラックスの周辺統計および連合統計を正確に捉えることができるか？

主な発見

• 乗法的ノイズを有する1次モデル（式3.55）は、直接MDシミュレーションとの比較により、エネルギーおよびフラックスの非ガウス型統計を正確に再現できた。
• エネルギーとフラックスの定常状態連合PDFは、ガンマ分布とラプラス分布の積として与えられ、粗視化変数の非ガウス性を反映している。
• SDEにおける拡散係数は、エネルギーおよびフラックスの関数として明示的に導出されており、式（3.58）の形により正しい定常分布が保証される。
• 理論的導出において次元に関する仮定を一切とらなかったため、任意の空間次元でモデルが有効である。
• 刻み幅Δt = 5×10⁻⁴の暗黙的テイラー法は、剛性SDEのシミュレーションに有効であり、MDと整合する長期統計を生成できた。
• このフレームワークにより、計算コストの高い非平衡MDに代わる、フラクチュエーティング熱伝導プロセスの効率的シミュレーションが可能になった。