[論文レビュー] The Morse Complex for a Morse Function on a Manifold with Corners

David G. C. Handron|ArXiv.org|Jun 23, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな勾配フローを修正することで、コーナーを持つコンパactかつ向き付け可能な多様体に対する古典的モース理論を拡張する。修正された勾配フローを用いてモース複体を構成し、臨界点間の勾配軌道の符号付き数え上げで定義される境界写像を持つ代数的複体が、幾何学的複体と同型であることを証明する。これにより、モース指数で添え字づけられたセルを持つCW複体と多様体とのホモトピー同値性が確立される。

ABSTRACT

A Morse function f on a manifold with corners M allows the characterization of the Morse data for a critical point by the Morse index. In fact, a modified gradient flow allows a proof of the Morse theorems in a manner similar to that of classical Morse theory. It follows that M is homotopy equivalent to a CW-complex with one cell of dimension λfor each essential critical point of index λ. The goal of this article is to determine the boundary maps of this CW-complex, in the case where M is compact and orientable. First, the boundary maps are defined in terms of the modified gradient flow. Then a transversality condition is imposed which insures that the attaching map is non-degenerate in a neighborhood of each critical point. The degree of this map is then interpreted as a sum of trajectories connecting two critical points each counted with a multiplicity determined by a choice of orientations on the tangent spaces of the unstable manifold at each critical point.

研究の動機と目的

• 古典的モース理論を、臨界点が依然として単一のモース指数で分類されるコーナーを持つ多様体へ一般化すること。
• 非退化性を横断性条件によって保証するように、修正された勾配フローの軌道を用いてモース複体における境界写像を定義すること。
• 接続写像の次数を、不安定多様体の向きの選択によって定まる符号付きの軌道の和として解釈すること。
• 臨界点と接続軌道の符号付き数え上げから構成される代数的複体が、多様体のCW構造から導かれる幾何学的複体と同型であることを証明すること。
• モース複体のホモロジーが多様体の特異ホモロジーと一致することを示し、古典的モース理論の結果をコーナーを持つ多様体の文脈へ拡張すること。

提案手法

• 境界およびコーナー構造を適切に扱うために、修正された勾配フローを導入し、臨界点の近傍で軌道が良好に振る舞うように保証する。
• セルの接続写像が臨界点の近傍で非退化となるように、修正された勾配フローに横断性条件を課す。
• 境界写像 ∂k は、k-セルの境界から (k−1)-スケルトンへの接続写像の次数として定義され、正則値の逆像の数え上げによって計算される。
• 接続写像の次数は、インデックス k と k−1 の臨界点を結ぶ軌道の和として解釈され、各軌道が向きの整合性に従って ±1 の寄与をもつ。
• 代数的複体は、Vj をインデックス j の臨界点の自由アーベル群として定義し、接続軌道の符号付き数え上げで境界写像を定義する。
• 境界写像が ∂k = h_{k−1}^{-1} ∘ ∂′k ∘ hk を満たすことを示すことにより、幾何学的複体と代数的複体の間の同型 h を確立し、チェーン同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な勾配フローの仮定が崩れるコーナーを持つ多様体において、どのようにしてモース理論を拡張できるか？
• RQ2 修正された勾配フローを構成することで、コーナーを持つ多様体に一貫したCW構造を誘導できるか？
• RQ3 コーナーを持つ多様体におけるモース複体の境界写像の正しい定義は何か？ そして、どのように計算できるか？
• RQ4 不安定多様体の向きの選択が、境界写像における軌道寄与の符号にどのように影響するか？
• RQ5 得られる代数的モース複体は、多様体の区分的構造から得られる幾何学的複体と同型であるか？

主な発見

• コンパクトかつ向き付け可能なコーナーを持つ多様体上でのモース関数に対して、モース複体はその特異ホモロジーと同型であり、古典的結果を一般化する。
• 代数的複体における境界写像は、隣接するインデックスを持つ臨界点を結ぶ軌道の符号付き和として定義され、向きの整合性によって符号が決定される。
• 各セルの接続写像の次数は、対応する臨界点を結ぶ軌道の符号の和として計算され、幾何学的複体と整合的である。
• 横断性条件により、各臨界点の近傍で接続写像が非退化となり、次数の正しく定義された計算が可能になる。
• 境界構造を保存するチェーン写像 h を通じて、幾何学的複体と代数的複体の同型が確立され、代数的複体が正しいホモロジーを計算することが証明される。
• 一般には臨界点の下りの集合がディスクにホメオモーティックでないものの、構成は依然として有効なCW構造と多様体とのホモトピー同値性をもたらす。