[論文レビュー] The Multifractal Time and Irreversibility in Dynamic Systems

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Feb 1, 2000

advanced mathematical theories被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間の局所的ラグランジュ密度に依存する非整数次元の多フラクタル集合として時間がモデル化されるとき、古典的力学系が本質的に非可逆的になるという提案を行う。時間微分をこれらの多フラクタル集合上で分数階微分作用素に一般化することで、リウヴィル方程式およびハミルトン方程式は内在的な非可逆性を獲得し、平衡系に対してもエントロピー生成が非ゼロとなる。これは、非可逆性が近似や追加の散逸項ではなく、時間そのものの幾何学的性質に起因することを示している。

ABSTRACT

The irreversibility of the equations of classical dynamics (the Hamilton equations and the Liouville equation) in the space with multifractal time is demonstrated. The time is given on multifractal sets with fractional dimensions. The last depends on densities of Lagrangians in a given time moment and in a given point of space. After transition to sets of time points with the integer dimension the obtained equations transfer in the known equations of classical dynamics. Production of an entropy is not equally to zero in space with multifractal time, i.e. the classical systems in this space are non-closed.

研究の動機と目的

• 古典的力学における非可逆性が、追加の散逸項やエントロピー関数への依存ではなく、時間そのものの幾何的性質に起因するかを調査すること。
• 標準的な時間（位相次元1）の代わりに、非整数フラクタル次元 $d_t({\bf r}(t),t)$ を持つ多フラクタル時間集合を用いることの結果を調査すること。
• 多フラクタル時間から標準的時間への遷移が、既知の可逆的古典力学方程式を回復することを示すこと。
• 多フラクタル時間において、平衡系ですら非ゼロのエントロピー生成を示すことにより、非閉じた力学的挙動が生じることを示すこと。
• 局所的エネルギー密度と、ラグランジュ密度を通じて $\varepsilon = d_t - 1$ のずれを物理的に結びつけることで、低場強度領域での既知の物理学と整合性を保つこと。

提案手法

• 測度を保持する空間 $M_t$ の部分集合 $s_t$ としての多フラクタル時間集合を導入し、各時間点での局所的変動するフラクタル次元 $d_t({\bf r}(t),t)$ を持つ。
• リーマン＝リウヴィル微積分に基づき、非整数 $d_t$ を持つ時間点に適応した一般化された分数階微分作用素 $D_{+,t}^{d_t}$ および $D_{-,t}^{d_t}$ を定義する。
• これらの一般化された微分作用素をリウヴィル方程式およびハミルトン方程式に適用し、多フラクタル時間集合上での非可逆的形に変換する。
• エントロピー生成を $D_{+,t}^{d_t}S = \int D_{+,t}^{d_t}[\rho \ln \rho] \, dX$ として定義し、$d_t = 1 + \varepsilon$ とし $|\varepsilon| \ll 1$ とする。
• ラグランジュ密度を介して $d_t({\bf r}(t),t) = 1 + \sum_i \beta_i L_i({\bf r}(t),t)$ と関係づけ、$\beta_i$ を一般相対性理論および量子力学のスケールに一致するように選ぶ。
• $d_t \to 1$ の極限を解析し、標準的可逆古典力学方程式が回復されることを確認することで、既存理論との整合性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的力学における非可逆性が、外部の散逸やエントロピー関数への依存ではなく、時間そのものの幾何的性質に起因する可能性はあるか？
• RQ2 時間のフラクタル次元が非整数である多フラクタル集合としてモデル化された場合、リウヴィル方程式およびハミルトン方程式はどのように変化するか？
• RQ3 時間の多フラクタル性がある場合、平衡系においてもエントロピー生成はゼロになるのか、それとも時間の幾何学的性質そのものが非ゼロのエントロピー流を引き起こすか？
• RQ4 フラクタル次元の1からのずれ $\varepsilon = d_t - 1$ は、物理的場やエネルギー密度とどのように関係しているか？
• RQ5 弱い場強度領域（地球の重力場や原子スケールなど）において、多フラクタル時間モデルが実験的観測とどの程度整合性を保っているか？

主な発見

• 時間の定義が多フラクタル集合で $d_t \neq 1$ の場合、保存系に対してもリウヴィル方程式およびハミルトン方程式は本質的に非可逆的になる。
• 多フラクタル時間上では、平衡系に対してもエントロピー生成 $D_{+,t}^{d_t}S \neq 0$ が生じ、その系は本質的に定常ではなく、時間の幾何学的性質に起因して非閉じた力学的挙動を示す。
• $d_t = 1 + \varepsilon$ で $|\varepsilon| \ll 1$ の場合、エントロピー生成は $\frac{\varepsilon S}{t^{d_t}} \pm \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon S) + \frac{\partial S}{\partial t} \neq 0$ と近似的に表され、非ゼロでかつ正のエントロピー流が生じうることを示している。
• フラクタル次元 $d_t({\bf r}(t),t)$ は、$d_t = 1 + \sum_i \beta_i L_i$ を通じて局所的ラグランジュ密度と関係づけられ、$\beta_i$ は一般相対性理論（$\beta = 2/c^2$）および量子力学（$\beta_e \sim (2mc^2)^{-1}$）のスケールに一致するように選ばれる。
• 低エネルギー密度領域（地球表面の重力場や原子スケールなど）では、$\varepsilon \sim 10^{-8}$ となり、モデルが既知の物理学と実験的に整合することを保証する。
• $d_t \to 1$ の極限において、一般化された方程式は標準的可逆古典力学方程式に還元され、既存理論との整合性が確認される。