[論文レビュー] The Nakano vanishing theorem and a vanishing theorem of Demailly-Nadel type for holomorphic vector bundles

Hossein Raufi|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなリーマン面における特異なヘルミート計量を備えた正則ベクトル束に対して、ケーラー恒等式に依存せずに $\delta\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法を用いることで、Demailly-Nadel 型の消滅定理を確立する。Nakano 正定性下での $\bar{\partial}$-閉形式に対する $L^2$ 評価を証明し、近似と弱収束を用いてホルマン型結果を特異計量へ拡張する。

ABSTRACT

We prove the classical Nakano vanishing theorem with Hörmander $L^2$-estimates on a compact Kähler manifold using Siu's so called $\partial\dbar$-Bochner-Kodaira method, thereby avoiding the Kähler identities completely. We then introduce singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles, and proceed to prove a vanishing theorem of Demailly-Nadel type for these in the special case where the base manifold is a Riemann surface.

研究の動機と目的

• 古典的 Nakano 消滅定理を、$L^2$ 評価を用いて特異なヘルミート計量へ拡張する。
• Siu の $\partial\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法を用いることで、ケーラー恒等式への依存を避ける。
• 非コンパクトなリーマン面上の特異計量を備えた正則ベクトル束に対して、Demailly-Nadel 型の消滅定理を確立する。
• Nakano 正定性下で、特異計量の場合を含めた $\bar{\partial}$-閉形式に対する $L^2$ 評価を証明する。
• 近似と弱収束の技法を用いて、ホルマン型 $L^2$ 評価を特異ヘルミート計量へ一般化する。

提案手法

• E-値 $(n,p)$-形式に $\partial\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法を適用し、$\Delta$ を $c_q\langle\alpha,\alpha\rangle\omega^{n-q-1}/(n-q-1)!$ に作用する $i\partial\bar{\partial}$ で置き換える。
• Nakano 正定性の意味で厳密に正の曲率を持つ計量を持つコンパクトケーラー多様体上で、ホルマンの $L^2$ 評価を用いる。
• 特異なヘルミート計量 $h$ を、点単位で $h$ に増加する滑らかで厳密に正の曲率を持つ $\{h_\nu\}$ の列で近似する。
• 近似と $h_\nu$ の単調性を用いて、被覆領域 $D_j$ 上で一様な $L^2$ 界を確立し、その後弱収束を適用して全多様体上での解を得る。
• 対角線的議論を用いて、すべての $\nu_0$ に対して $L^2_{(1,0)}(D,E,h_{\nu_0})$ 内で弱収束する部分列を抽出し、制御された $L^2$ ノルムを持つ解 $u_D$ を得る。
• 補題 4.1 を活用して、コンパクトなリーマン面上の孤立点を越えて解を拡張し、分布の意味で $\bar{\partial}u = f$ が全域的に成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー恒等式に依存せずに、$\partial\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法を用いて正則ベクトル束上の $\bar{\partial}$-方程式に対する $L^2$ 評価を証明できるか？
• RQ2 非コンパクトなリーマン面上の特異ヘルミート計量を備えた正則ベクトル束に対して、Demailly-Nadel 型の消滅定理が成り立つか？
• RQ3 近似と弱収束を用いて、$\bar{\partial}$-閉形式に対する $L^2$ 評価を特異計量へ拡張できるか？
• RQ4 $\partial\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法は、線束と比較してベクトル束にどのように適応されるか？
• RQ5 計量が特異的だが連続的である場合、$\bar{\partial}$-解は孤立特異点を越えてどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿は、ケーラー恒等式に依存せずに $\partial\bar{\partial}$-ボchner-Kodaira 法を用いて、コンパクトケーラー多様体上の正則ベクトル束に対する $\bar{\partial}$-方程式の $L^2$ 評価を証明する。
• 任意の $\bar{\partial}$-閉な E-値 $(n,p)$-形式 $f$（$p \geq 1$）に対して、Nakano 正定性 $i\Theta^h \geq_{\text{Nak.}} \delta \omega \otimes I$ の下で、$\bar{\partial}u = f$ を満たす解 $u$ が存在し、$\int_X \|u\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{\delta p} \int_X \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$ を満たす。
• 非コンパクトなリーマン面上では、$\log h \in L^1_{\text{loc}}$ のとき、特異ヘルミート計量に対して Demailly-Nadel 消滅定理が成り立ち、$L^2$ 評価は近似のもとで保存される。
• 領域 $D$ 上での $\bar{\partial}u = f$ の解 $u_D$ は、十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して、$\int_D \|u_D\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{1-\varepsilon} \int_D \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$ を満たす。
• コンパクトなリーマン面上では、局所的な $L^2$ 積分可能性と補題 4.1 の利用により、$\bar{\partial}u = f$ の解 $u$ は孤立点を越えて拡張可能であり、全域的な可解性が保証される。
• この方法により、被覆領域 $D_j$ 全体にわたる一様な $L^2$ 界が得られ、弱収束により全多様体上での解 $u$ が得られ、$\int_X \|u\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{1-\varepsilon} \int_X \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$ を満たす。$\varepsilon \to 0$ のとき、この評価は鋭くなる。