[論文レビュー] The Nash problem on arcs for surface singularities

Marcel Moralès|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、正則表面特異点における弧に関するナッシュ問題を、例外的除法の各成分からなる弧空間の既約成分へのナッシュ写像の単射性を保証する数値的ナッシュ条件（NN_{(i,j)}）を導入することによって解決する。少なくともすべての成分対の半数以上がこれらの条件を満たすことが証明され、解像グラフの行列に基づく純粋な数値的基準によって、広範な新規なケースでナッシュ写像の全射性が確立される。ナッシュ行列と呼ばれる特定の種類の交差行列が定義され、その上でナッシュ写像が全単射となることが示される。

ABSTRACT

Let $(X,O)$ be a germ of a normal surface singularity, $π: ilde X\longrightarrow X$ be the minimal resolution of singularities and let $A=(a_{i,j})$ be the $n imes n$ symmetrical intersection matrix of the exceptional set of $ ilde X$. In an old preprint Nash proves that the set of arcs on a surface singularity is a scheme ${\cal H}$, and defines a map ${\cal N}$ from the set of irreducible components of ${\cal H}$ to the set of exceptional components of the minimal resolution of singularities of $(X,O)$. He proved that this map is injective and ask if it is surjective. In this paper we consider the canonical decomposition ${\cal H}=\cup_{i=1}^n \bar{\cal N}_i$: o For any couple $(E_i,E_j)$ of distinct exceptional components, we define Numerical Nash condition $(NN_{(i,j)})$. We have that $(NN_{(i,j)})$ implies $\bar{\cal N}_{i} ot\subset \bar{\cal N}_{j} $. In this paper we prove that $(NN_{(i,j)})$ is always true for at least the half of couples $(i,j)$. o The condition $(NN_{(i,j)})$ is true for all couples $(i,j)$ with $i ot=j$, characterizes a certain class of negative definite matrices, that we call Nash matrices. If $A$ is a Nash matrix then the Nash map ${\cal N}$ is bijective. In particular our results depends only on $A$ and not on the topological type of the exceptional set. o We recover and improve considerably almost all results known on this topic and our proofs are new and elementary. o We give infinitely many other classes of singularities where Nash Conjecture is true. The proofs are based on my old work \cite{M} and in Plenat \cite{P}.

研究の動機と目的

• 正則表面特異点における弧に関するナッシュ問題を解決し、弧の成分から例外的除法へのナッシュ写像が全射となる条件を同定する。
• 解像グラフの交差行列に基づいて、ナッシュ写像が全単射となる表面特異点のクラスを特徴付ける。
• トポロジカル型に依存しない、純粋に数値的な基準（『ナッシュ行列』）を提供し、ナッシュ写像の全単射性を決定する。
• 初等的かつ自己完結的な証明を用いて、既存の結果を一般化・改善する。

提案手法

• 例外的成分の対に対して、閉包が互いに含まれないことを保証する数値的ナッシュ条件（NN_{(i,j)}）を導入する。
• 解像における弧空間 H = ∪i N̄i を、例外的除法 Ei に関連する既約成分に分解する。
• 先行研究（Morales [7], Plenat [9]）の結果を応用し、ある f ∈ O_{X,O} に対して ord_Ei(f) < ord_Ej(f) が成り立つならば N̄i ⊄ N̄j であるという基準を導出する。
• すべての i に対して −E·Ei ≥ 2K·Ei が成り立つならば、理想層 Q = π*O_{X̃}(−E) が大域的に生成されることを示す。
• すべての i ≠ j に対して (NN_{(i,j)}) を満たす負定値対称交差行列を『ナッシュ行列』と定義し、このような行列がナッシュ写像の全単射性を保証することを示す。
• 接続公式と例外的曲線の genus 制約を用いて、正則除法と自己交差に関する不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差行列 A がどのような条件下で、弧の成分から例外的除法へのナッシュ写像が全単射となるか。
• RQ2 ナッシュ写像の全射性は、解像グラフのトポロジカル型とは独立して、交差行列から決定可能か。
• RQ3 例外的成分の対 (i,j) のうち、N̄i ⊂ N̄j が避けられるのは何組か。この条件により、成分の相違性が保証される。
• RQ4 ナッシュ写像が全単射となる特異点に正確に対応する負定値行列のクラスは何か。

主な発見

• すべての i ≠ j の対のうち、少なくとも半数以上が数値的ナッシュ条件（NN_{(i,j)}）を満たし、その対に対しては N̄i ⊄ N̄j が保証される。
• 負定値対称行列 A がナッシュ行列であるための必要十分条件は、すべての i ≠ j に対して (NN_{(i,j)}) が成り立つことであり、このような行列に対してはナッシュ写像が全単射である。
• ナッシュ写像の全単射性は、解像グラフのトポロジカル型に依存せず、交差行列 A のみに依存する。
• 本論文は、初等的かつ自己完結的な議論を用いて、これまでに知られていたすべての結果を回復し、さらに改善している。
• E8 や特定のスターフォームのグラフを含む、無限に多くの新しい表面特異点のクラスが、ナッシュ予想が成り立つことが同定された。
• 具体的な行列と例（例：E8、条件 (NN) を満たす・満たさないスターフォームのグラフ）を提示し、基準の適用可能性と限界を示している。