[論文レビュー] The nature of electromagnetic energy

Jerrold Franklin|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2007

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、長年の論争である電磁エネルギーの位置について解決する。電磁波に対してはエネルギーは場に存在し、エネルギー密度は $\frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2)$ であると示し、静的電荷分布に対してはエネルギーは電荷そのものに蓄えられ、エネルギー密度は $\frac{1}{2}\rho\phi$ である。エネルギーの位置は明確であり、単なる会計上の都合ではなく物理的状況に依存する。

ABSTRACT

We study the nature and location of electromagetic energy for two cases. The energy density for electromagnetic radiation is shown to be $\frac{1}{8π}(E^2+B^2)$, with the energy contained in the electromagnet fields. For a static charge distribution, the electromagnet energy is contained in the charge, with an energy density, $\frac{1}{2}ρϕ$, There is no energy outside the charge distribution. The electromagnetic fields do not contain the energy, and $\frac{1}{8π}(E^2+B^2)$ cannot be considered an energy density in this case. There is no ambiguity in either case as to where the energy is located.

研究の動機と目的

• 古典電磁力学における電磁エネルギーの位置に関する長年の曖昧さを解消すること。
• 電磁エネルギーが場（$\frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2)$）に蓄えられるのか、それとも電荷分布（$\frac{1}{2}\rho\phi$）に蓄えられるのかを明確にすること。
• エネルギーの位置が便宜上ではなく、物理的に決定されることを示すこと。
• 放射と静的電荷分布の2つの異なる物理的状況におけるエネルギー密度の厳密な導出を提供すること。

提案手法

• マクスウェル方程式とローレンツ力則から出発し、ポインティングの定理を第一原理から導出する。
• ポインティングの定理を真空中の電磁波に適用し、ポインティングベクトルによるエネルギーの流れと場のエネルギー密度を示す。
• 時間積分された電場およびベクトルポテンシャルによる仕事を使って、静的電荷分布のエネルギーを計算する。
• 連続の式と電流保存則を用いて、定常電流源からのエネルギーの蓄積をモデル化する。
• 有限体積内での $\frac{1}{8\pi}E^2$ と $\frac{1}{2}\rho\phi$ の体積積分を比較し、静的電荷に対しては後者が物理的に正しいことを示す。
• 静的系において有限体積内では $\frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2)$ が局所的エネルギー密度として機能しないことを示し、表面寄与が寄与するためである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁エネルギーは場に蓄えられるのか、それとも電荷に蓄えられるのか。そして、それが明確に決定できるか。
• RQ2 $\frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2)$ が静的電荷分布に対して局所的エネルギー密度として失敗する理由は何か。
• RQ3 $\frac{1}{2}\rho\phi$ が静的系における電磁エネルギー密度を厳密に表していることを示せるか。
• RQ4 有限体積内で $\frac{1}{8\pi}E^2$ を用いたエネルギー計算において、表面積分が果たす役割は何か。
• RQ5 ポテンシャルと電流の時間発展が、静的配置におけるエネルギーの真の位置をどのように明らかにするか。

主な発見

• 真空中の電磁波に対しては、エネルギー密度は $\frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2)$ として明確に定まり、任意の体積での積分が正しいエネルギー内容を与える。
• 静的電荷分布に対しては、電磁エネルギーは完全に電荷分布内に存在し、エネルギー密度は $\frac{1}{2}\rho\phi$ であり、電荷の外にはエネルギーは存在しない。
• 有限体積内では、$\frac{1}{8\pi}E^2$ を静的系の有効なエネルギー密度とは見なせない。なぜなら、表面寄与を考慮に入れないからである。
• 有限体積内では、$\frac{1}{8\pi}E^2$ の積分が正しいエネルギーを与えるのは、表面積分が消える場合に限る。これは無限体積でのみ成立する。
• 静的電荷分布のエネルギーは $\int \frac{1}{2}\rho\phi\, d^3r$ で正しく与えられ、定常電流からのエネルギー蓄積と整合的である。
• エネルギー局在化に曖昧さはなく、放射に対しては場に基づく密度、静的系に対しては電荷に基づく密度が適用され、物理的状況に依存する。