[論文レビュー] The non-commutative geometry of matrix models: the Spinfoam way

Etera R. Livine|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、3次元量子重力のスピンフォーム模型の文脈において、2次元群場理論を通じて、行列模型と非可換幾何学の直接的な関係を確立する。非自明なプロパゲーターを持つ有効群場理論が、サイズに依存する結合定数をもつ多行列模型として再定式化可能であることが示され、量子変形された3次元ポアンカレ対称性に関して不変である、新たなクラスの非可換場理論が得られる。

ABSTRACT

In the context of spin foam models for quantum gravity, group field theories are a useful tool allowing on the one hand a non-perturbative formulation of the partition function and on the other hand admitting an interpretation as generalized matrix models. Focusing on 2d group field theories, we review their explicit relation to matrix models and show their link to a class of non-commutative field theories invariant under a quantum deformed 3d Poincare symmetry. This provides a simple relation between matrix models and non-commutative geometry. Moreover, we review the derivation of effective 2d group field theories with non-trivial propagators from Boulatov's group field theory for 3d quantum gravity. Besides the fact that this gives a simple and direct derivation of non-commutative field theories for the matter dynamics coupled to (3d) quantum gravity, these effective field theories can be expressed as multi-matrix models with non-trivial coupling between matrices of different sizes. It should be interesting to analyze this new class of theories, both from the point of view of matrix models as integrable systems and for the study of non-commutative field theories.

研究の動機と目的

• 量子重力の文脈において、行列模型と非可換幾何学の関係を明確化すること。
• ボラトフの3次元量子重力の群場理論から、非自明なプロパゲーターをもつ有効2次元群場理論を導出すること。
• これらの有効理論が、異なるサイズの行列間の結合をもつ多行列模型として表現可能であることを示すこと。
• この定式化が、可積分系および非可換場理論の両者に与える影響を調査すること。
• 量子重力に結合する物質の力学を、量子変形された3次元ポアンカレ対称性をもつ非可換場理論を通じて研究するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 行列模型と非可換場理論の間の橋渡しとして、2次元群場理論の使用。
• ボラトフの元々の3次元量子重力模型から有効模型を導出するための群場理論技法の適用。
• 得られた非可換場理論の不変性群として、量子変形された3次元ポアンカレ対称性の同定。
• 有効場理論を、サイズが異なる行列間の非自明な結合をもつ多行列模型として再定式化すること。
• これらのモデルの非可換幾何学的構造の背後にある代数的構造の分析。
• 群場理論のフェ Feynman 図を用いて、行列模型の構造をスピンフォーム振幅の観点から解釈すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力の文脈において、2次元群場理論はどのように行列模型と関係づけられるか？
• RQ2 非可換幾何学は、行列模型と群場理論を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 有効群場理論における非自明なプロパゲーターは、サイズに依存する結合定数をもつ多行列模型をどのように導くか？
• RQ4 得られた非可換場理論の背後にある対称性は何か？ そして、その対称性は行列模型の定式化においてどのように実現されるか？
• RQ5 この枠組みは、新たな可積分系のクラスを提供するか、あるいは3次元量子重力に結合する物質の理解に新たな知見をもたらすか？

主な発見

• この論文は、2次元群場理論を通じて、行列模型と非可換幾何学の直接的な対応関係を確立する。
• ボラトフの3次元量子重力模型から導出された有効2次元群場理論は、異なるサイズの行列間の非自明な結合をもつ多行列模型として表現可能である。
• 得られた非可換場理論は、量子変形された3次元ポアンカレ対称性に関して不変であり、これにより量子重力模型と結びつけられる。
• この定式化により、サイズに依存する行列相互作用を組み込んだ、従来のモデルを一般化した新たなクラスの行列模型が明らかになる。
• これらのモデルの構造は、可積分系および非可換場理論の研究への応用可能性を示唆している。
• 本研究は、群場理論から導かれる非可換場理論を用いて、3次元量子重力における物質の力学を統一的に研究するためのフレームワークを提供する。