[論文レビュー] The noncommutative geometry of the discrete Heisenberg group

Tom Hadfield|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学的構造としての離散ヘイゼンベルク群の C*-代数の K-ホモロジー、循環コホモロジー、および微分作用素を用いて調査する。K-ホモロジー群は $\mathbb{Z}^3$ に同型であり、生成するフレドホルム・モジュールを明示的に構成する。また、群環 $\mathbb{C}H_3$ の循環コホモロジーは次数 0–2 で $\Pi_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$、$n \geq 3$ のとき $\mathbb{C}^3$ であり、この非可換多様体例の完全なコホモロジー的構造が得られる。

ABSTRACT

Motivated by the search for new examples of ``noncommutative manifolds'', we study the noncommutative geometry (in the sense of Connes) of the group C*-algebra of the three dimensional discrete Heisenberg group. We present a unified treatment of the K-homology, cyclic cohomology and derivations of this algebra.

研究の動機と目的

• 離散ヘイゼンベルク群 $H_3$ の群 C*-代数に対して、K-ホモロジー、循環コホモロジー、および微分作用素を統一的に扱う。
• C^*(H_3) の K-ホモロジー群を計算し、生成するフレドホルム・モジュールを明示する。
• バーグヘレアの定理とスペクトル系列を用いて、群環 $\mathbb{C}H_3$ の循環コホモロジーを決定する。
• ピムスナー＝ヴォイキュレスクの六項完全系列におけるこれらの不変量の振る舞いを分析する。
• 結果を $C^*(H_3)$ の滑らか部分代数 $A^\infty \subset C^*(H_3)$ に拡張し、ネストの滑らか交叉積理論を用いてその循環コホモロジーを計算する。

提案手法

• C^*(H_3) \cong C(\mathbb{T}^2) \times_\alpha \mathbb{Z}$ の交叉積の K-理論および K-ホモロジーを計算するために、ピムスナー＝ヴォイキュレスクの六項完全系列を用いる。
• 群コホモロジー $H^n(H_3; \mathbb{C})$ の計算に Hochschild-Serre スペクトル系列を適用し、これにより循環コホモロジーの計算の基礎を築く。
• バーグヘレアの定理を用いて、群元の共役類および正規化部分群の分析により、$\mathbb{C}H_3$ の循環コホモロジーを計算する。
• H_3 が中心拡大 $0 \to \mathbb{Z} \to H_3 \to \mathbb{Z}^2 \to 0$ として与えられることを用いて、コホモロジー的不変量を分解する。
• ネストの滑らか交叉積に関する結果を用いて、$C^*(H_3)$ の稠密 $*$-部分代数 $A^\infty \subset C^*(H_3)$ の循環コホモロジーを計算する。
• $\mathbb{C}H_3$ および $A^\infty$ 上の微分作用素を分析し、非可換空間上の微分構造を理解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^*(H_3)$ の K-ホモロジー構造は何か？ また、それを生成する明示的なフレドホルム・モジュールは何か？
• RQ2 $\mathbb{C}H_3$ の循環コホモロジーはどのように分解され、群の共役類および正規化部分群とどのような関係にあるか？
• RQ3 $A^\infty \subset C^*(H_3)$ の滑らか部分代数の循環コホモロジーは何か？ また、群環のコホモロジーと比べてどう異なるか？
• RQ4 $C^*(H_3)$ の K-理論および K-ホモロジー群は、ピムスナー＝ヴォイキュレスクの六項完全系列においてどのように振る舞うか？
• RQ5 中心拡大 $0 \to \mathbb{Z} \to H_3 \to \mathbb{Z}^2 \to 0$ は、$H_3$ のコホモロジー的不変量を決定するために果たす役割は何か？

主な発見

• K-ホモロジー群 $KK^i(C^*(H_3), \mathbb{C})$ は $i = 0,1$ に対して $\mathbb{Z}^3$ に同型であり、$C^*(H_3)$ 上の行列代数における射影およびユニタリ演算子によって明示的な生成元が与えられる。
• $\mathbb{C}H_3$ の循環コホモロジーは次数 $n = 0,1,2$ で $\Pi_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$、$n \geq 3$ のとき $\mathbb{C}^3$ であり、Hochschild-Serre スペクトル系列および共役類の分析により計算された。
• $\mathbb{C}H_3$ の周期的循環コホモロジーは、偶数および奇数の両方の次数で $\mathbb{C}^3$ に同型であり、有限次元の非可換 de Rham コホモロジーを示している。
• $A^\infty$ の循環コホモロジーはすべての $n \geq 2$ で $\mathbb{C}^3$ であり、高次度において群環のコホモロジーと整合的である。
• $H^n(H_3; \mathbb{C})$ の群コホモロジーは、次数 0 で $\mathbb{C}$、次数 1 および 2 で $\mathbb{C}^2$、次数 3 で $\mathbb{C}$、$n > 3$ で 0 であり、自明作用を伴う Hochschild-Serre スペクトル系列により計算された。
• ピムスナー＝ヴォイキュレスク系列における K-理論の境界写像は明示的に計算され、$\delta_0[P_a] = 0$、$\delta_0[P_b] = [W]$、$\delta_1[V] = [1]$ が得られ、六項完全系列の構造が確認された。