[论文解读] The "nonlinear pullback" of functions and a formal category extending the category of supermanifolds
本文通过使用典范关系和生成函数，引入了在超流形上函数的非线性拉回构造，推广了标准拉回。它定义了一个形式范畴，扩展了超流形的范畴，并表明当主哈密顿量通过典范关系关联时，此类映射在同伦Schouten与Poisson流形的函数代数之间诱导出L∞-同态。
We introduce mappings between function spaces on smooth (super)manifolds, which are generally nonlinear and which generalize the pullbacks with respect to smooth maps. The construction uses canonical relations and generating functions. The formal category arising here is a "formal thickening" of the usual category of supermanifolds. (It is very close to the category of symplectic micromanifolds and their micromorphisms considered recently by A. Weinstein and A. Cattaneo -- B. Dherin -- A. Weinstein.) We also give a parallel construction for odd functions, based on odd symplectic geometry. As an application, we show that such a mapping gives an L∞-morphism of the algebras of functions on homotopy Schouten manifolds if the master Hamiltonians are related by a canonical relation. There is a parallel statement for homotopy Poisson manifolds. We discuss possible applications to L∞-bialgebroids.
研究动机与目标
- 将超流形上函数的标准拉回推广为使用典范关系的非线性构造。
- 定义一个形式范畴，以‘加厚’超流形的范畴，扩展其结构。
- 通过奇数辛几何将该框架扩展至奇函数。
- 建立此类非线性拉回在同伦Schouten与Poisson流形的函数代数之间诱导出L∞-同态的条件。
- 通过所提出的形式体系探索其在L∞-双代数胚上的潜在应用。
提出的方法
- 使用典范关系和生成函数来定义光滑（超）流形上函数空间之间的非线性映射。
- 构建一个形式范畴，通过引入非线性拉回，扩展通常的超流形范畴。
- 通过奇数辛几何将该框架适配至奇函数，类似于偶数情况的处理方式。
- 识别出非线性拉回在函数代数之间诱导出L∞-同态的条件。
- 利用通过典范关系关联的主哈密顿量作为关键机制，以确保L∞-同态结构。
- 对同伦Schouten与同伦Poisson流形进行平行处理，以展示该框架的广泛适用性。
实验结果
研究问题
- RQ1如何将超流形上函数的标准拉回推广为非线性构造？
- RQ2当系统性地引入非线性拉回时，会涌现出何种范畴结构？
- RQ3典范关系和生成函数以何种方式促成此类非线性映射的构造？
- RQ4在何种条件下，非线性拉回会在同伦Schouten流形的函数代数之间诱导出L∞-同态？
- RQ5如何通过奇数辛几何将该框架扩展至包含奇函数？
主要发现
- 非线性拉回构造通过使用典范关系和生成函数，推广了标准拉回，使得函数空间的映射具有非线性特性。
- 所得的形式范畴是超流形范畴的‘加厚’版本，与辛微流形和微同态密切相关。
- 对于同伦Schouten流形，若主哈密顿量通过典范关系关联，则非线性拉回在其函数代数之间诱导出L∞-同态。
- 同伦Poisson流形也存在类似结果，表明该框架对两类同伦结构均具有适用性。
- 该构造通过奇数辛几何自然地扩展至奇函数，且与偶数情况保持一致。
- 该框架为通过函数代数上诱导的同态研究L∞-双代数胚提供了基础。
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