[論文レビュー] The normal symbol on Riemannian manifolds

Markus J. Pflaum|ArXiv.org|Dec 11, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上の擬微分作用素に対する幾何学的に自然な記号計算を、正規記号と呼ばれる余接 bundle に値をとる滑らかな関数を用いて導入する。これは滑らかで、滑らかでない作用素を除く記号と作用素の間の標準的で積分に基づく同型写像を確立し、局所座標に依存しないグローバルな枠組みを提供する。これにより、楕円型の定義や、主記号に依存しないパラメトリクスの構成が可能になる。

ABSTRACT

For an arbitrary Riemannian manifold $X$ and Hermitian vector bundles $E$ and $F$ over $X$ we define the notion of the normal symbol of a pseudodifferential operator $P$ from $E$ to $F$. The normal symbol of $P$ is a certain smooth function from the cotangent bundle $T^*X$ to the homomorphism bundle $Hom (E,F)$ and depends on the metric structures resp. the corresponding connections on $X$, $E$ and $F$. It is shown that by a natural integral formula the pseudodifferential operator $P$ can be recovered from its symbol. Thus, modulo smoothing operators resp. smoothing symbols, we receive a linear bijective correspondence between the space of symbols and the space of pseudodifferential operators on $X$. This correspondence comprises a natural transformation between appropriate functors. A formula for the asymptotic expansion of the product symbol of two pseudodifferential operators in terms of the symbols of its factors is given. Furthermore an expression for the symbol of the adjoint is derived. Finally the question of invertibility of pseudodifferential operators is considered. For that we use the normal symbol to establish a new and general notion of elliptic pseudodifferential operators on manifolds.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の擬微分作用素に対して、局所座標に依存しないグローバルで幾何学的に自然な記号計算を構築すること。
• 明示的な積分公式を用いて、記号写像とその逆写像を定義し、記号と滑らかでない作用素を除く擬微分作用素の間の線形な全単射対応を保証すること。
• 正規記号を用いた、内在的で新しい楕円型の概念を確立し、古典的およびDouglis-Nirenbergの楕円型を一般化すること。
• この記号計算において、2つの作用素の積の記号の明示的公式を導出すること。
• 非古典的または非斉次な楕円型作用素に対し、正規記号の枠組みを用いてパラメトリクスを構成可能であることを可能にすること。

提案手法

• 計量に適合する位相関数を用いて、擬微分作用素の正規記号を、余接 bundle 上の自己同型 bundle の滑らかな切断として定義する。
• 標準的な積分表現を用いて、正規記号から擬微分作用素を回復する。これにより、記号写像の逆写像が得られる。
• 記号計算における漸近展開を用いて、2つの作用素の合成の記号の展開式を導出する。
• 計量構造と記号写像の性質を活用して、随伴作用素の記号の公式を確立する。
• 滑らかでない記号を除く正規記号の可逆性に基づく、新しい内在的楕円型の概念を導入する。これにより、主記号の必要性が不要になる。
• この記号計算を応用して、Douglis-Nirenberg楕円型系が新しい意味で楕円的であることを示し、かつそのパラメトリクスが記号計算によって構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の擬微分作用素に対して、局所座標に依存しないグローバルで幾何学的に自然な記号計算を構築可能か？
• RQ2 擬微分作用素をその記号から回復する標準的な積分公式が存在するか。これにより、記号と滑らかでない作用素を除く擬微分作用素の間の全単射対応が確立されるか？
• RQ3 正規記号を用いて、古典的およびDouglis-Nirenberg楕円型を一般化する、新しい内在的楕円型の概念を定義可能か？
• RQ4 この記号計算において、随伴作用素および2つの擬微分作用素の積の記号の明示的公式は何か？
• RQ5 この記号計算により、非古典的または非斉次な楕円型作用素のパラメトリクスの構成が可能か？

主な発見

• 正規記号は、余接 bundle 上に値をとる滑らかな関数であり、多様体およびベクトルバンドル上の接続と計量によって一意に定まる。
• 擬微分作用素をその正規記号から回復する標準的な積分公式が存在し、記号の空間と滑らかでない作用素を除く擬微分作用素の空間との間の線形な全単射対応を確立する。
• 随伴作用素の記号は、正規記号と計量構造を用いて明示的に表現可能であり、ユークリッドの場合を一般化する。
• 2つの作用素の積の記号は、因子の記号の漸近展開として表現可能であり、その係数は明示的にこの記号計算から導出可能である。
• 擬微分作用素が楕円的であるための必要十分条件は、その正規記号が滑らかでない記号を除いて可逆であることである。これにより、グローバルで幾何学的な楕円型の基準が得られる。
• この枠組みは、古典的およびDouglis-Nirenbergの楕円型を特別な場合として含み、非古典的楕円型系に対してもパラメトリクスの構成が可能である。