[論文レビュー] THE NOTIONS OF DISTANCE AND VELOCITY MODULUS IN THE LINEAR FINSLER SPACES

D. G. Pavlov, G. I. Garas|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2005

Advanced Differential Geometry Research被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特殊相対性理論に類似した同時性面を用いて、4次元線形フィンスラー空間にベルヴァル＝ムール計量を適用した場合の3次元距離および速度モジュラスの公式を導出する。低速では速度モジュラスがガリレオ形式に還元され、最大速度（光的）では1に等しくなる。速度変換は座標軸に沿ってローレンツ変換に還元されるが、横方向では異なるものとなる。

ABSTRACT

The formulas for the 3-dimensional distance and the velocity modulus in the 4-dimensional linear space with the Berwald-Moor metrics are obtained. The used algorithm is applicable both for the Minkowski space and for the arbitrary poly-linear Finsler space in which the time-like component could be chosen. The constructed here modulus of the 3-dimensional velocity in the space with the Berwald-Moor metrics coincides with the corresponding expression in the Galilean space at small (non-relativistic) velocities, while at maximal velocities, i.e. for the world lines lying on the surface of the cone of future, this modulus is equal to unity. To construct the 3-dimensional distance, the notion of the surface of the relative simultaneity is used which is analogous to the corresponding speculations in special relativity. The formulas for the velocity transformation when one pass from one inertial frame to another are obtained. In case when both velocities are directed along one of the three selected straight lines, the obtained relations coincide with the analogous relations of special relativity, but they difier in other cases. Besides, the expressions for the transformations that play the same role as Lorentz transformations in the Minkowski space are obtained. It was found that if the three space coordinate axis are straight lines along which the velocities are added as in special relativity, then taking the velocity of the new inertial frame collinear to the one of these coordinate axis, one can see that the transformation of this coordinate and time coordinate coincide with Lorentz transformations, while the transformations of the two transversal coordinates difier from the corresponding Lorentz transformations.

研究の動機と目的

• 4次元線形フィンスラー空間にベルヴァル＝ムール計量を適用した場合の距離および速度モジュラスの概念を一般化すること。
• 特殊相対性理論に類似した相対的同時性面を用いて3次元距離を定義すること。
• 慣性系間の移動における速度変換則を導出し、特定の状況で特殊相対性理論に還元されることを示すこと。
• ローレンツ変換に類似した変換を同定し、標準的なローレンツ形式と比較すること。

提案手法

• 4次元線形フィンスラー空間におけるベルヴァル＝ムール計量を用いて幾何的量を定義する。
• 特殊相対性理論の同時性規約に類似した相対的同時性面を導入し、3次元距離を定義する。
• 慣性系間の移動における速度変換則を、座標軸からの相対的向きに依存する形で導出する。
• 座標軸に沿った変換とローレンツ変換を比較し、横方向成分における相違を特定する。
• 計量構造において時間的成分を一貫して選択可能であると仮定する。
• 形式主義をミンコフスキー空間および一般の多項式線形フィンスラー空間に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元フィンスラー空間にベルヴァル＝ムール計量を適用した場合、3次元距離を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 このような空間における速度モジュラスの形は何か？ また、非相対論的および最大速度領域での挙動は？
• RQ3 このフィンスラー枠組みにおける速度変換則は、特殊相対性理論におけるものとどのように比較できるか？ 特に横方向において。
• RQ4 このフィンスラー設定においてローレンツ変換に類似した変換は存在するか？ また、それらはどのように異なるか？
• RQ5 導出された変換が標準的なローレンツ変換に還元される条件は何か？

主な発見

• 低速（非相対論的）領域では、3次元速度モジュラスはガリレオ形式と一致する。
• 最大速度（未来の光円錐上に位置する世界線に対応）では、速度モジュラスは1に等しくなる。
• 速度が3つの選択された座標軸のいずれかと一致する場合、導出された速度変換則は特殊相対性理論のものと一致する。
• 横方向の速度成分においては、フレーム速度が座標軸に一致している場合でさえ、導出された変換則はローレンツ変換とは異なる。
• 運動方向の座標および時間の変換はローレンツ変換と一致するが、2つの横方向座標は異なる方法で変換される。
• 形式主義は、ベルヴァル＝ムール計量を有する線形フィンスラー空間における距離および速度の一貫した幾何的枠組みを提供し、横方向成分に関して非ローレンツ的方式で特殊相対性理論を拡張する。