[論文レビュー] The number of composition factors of order $p$ in completely reducible groups of characteristic $p$

Michael Giudici, S. P. Glasby+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特徴数 $ p $ の有限体上での完全可約線型群における位数 $ p $ の組成因子の個数に上界を確立する。アシュバッハァーの分類と帰納法を用いて、$ c_p(G) \bigackslashvert \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ を証明し、ここで $ \varepsilon_q \in \{1, \frac{p}{p-1}, \frac{4}{3}\} $ である。また、すべての $ q $ に対して無限回にわたってこの上界が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

Let $q$ be a power of a prime $p$ and let $G$ be a completely reducible subgroup of $\\mathrm{GL}(d,q)$. We prove that the number of composition factors of $G$ that have prime order $p$ is at most $(\\varepsilon_q d-1)/(p-1)$, where $\\varepsilon_q$ is a function of $q$ satisfying $1\\leqslant\\varepsilon_q\\leqslant 3/2$. For every $q$, we give examples showing this bound is sharp infinitely often.

研究の動機と目的

• 特徴数 $ p $ の有限体上での $ \mathrm{GL}(d, q) $ の完全可約部分群における位数 $ p $ の組成因子の最大個数を特定すること。ここで $ q = p^f $ である。
• $ c_p(G) $、すなわち位数 $ p $ の組成因子の個数に対するタイトな上界を、$ d $、$ p $、および関数 $ \varepsilon_q $ に依存する形で確立すること。
• 上記の上界が、すべての素数べき $ q $ に対して無限回にわたって達成可能であることを示し、$ \varepsilon_q $ の最適性を裏付けること。
• 自然モジュールの組成系列における組成因子の個数を用いて、$ G/O_p(G) $ への結果の拡張を行い、より洗練された上界を提示すること。

提案手法

• 自然モジュールの次元 $ d $ について帰納法を適用し、クリフォードの定理および完全可約群の性質を用いる。
• アシュバッハァーの $ \mathrm{GL}(d, q) $ の部分群の分類を用いて証明をケースに分け、特に非幾何的作用をもつ射影的・ほぼ単純群を含む $ \mathcal{C}_9 $ ケースを特に取り扱う。
• レジェンドルの公式を用いて階乗および群の位数の $ p $ 部分に対する評価を実施：$ \log_p(r!)_{p} \leq \frac{r-1}{p-1} $。
• 部分正規系列を通じて組成因子の構造を分析し、$ c_p(G) = \sum c_p(G_{i-1}/G_i) $ が成り立つことを利用する。
• 自然モジュールの組成因子 $ W_i $ に対して、$ \phi: G \to \prod \mathrm{GL}(W_i) $ という準同型を用い、$ c_p(G/O_p(G)) $ を各既約商の $ c_p(G_i) $ の和と関連付ける。
• $ p $ と $ f $ に基づいて $ \varepsilon_q $ を定義する：$ p=2 $ かつ $ f $ が偶数のとき $ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $、$ p $ がフェルマー素数のとき $ \frac{p}{p-1} $、それ以外の場合は $ 1 $ とし、この選択が最適であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全可約部分群 $ G \leq \mathrm{GL}(d, q) $ が有する位数 $ p $ の組成因子の最大個数は何か？
• RQ2 $ q = p^f $ の指数 $ f $ に依存しない上界 $ c_p(G) $ を得ることは可能か？ もしそうなら、最良の定数 $ \varepsilon_q $ は何か？
• RQ3 上界 $ c_p(G) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ は、すべての $ d $ と $ q $ に対して無限回にわたって達成可能か？ また、$ \varepsilon_q $ は最適か？
• RQ4 自然モジュールの組成系列の構造は、$ G/O_p(G) $ における $ p $ 位数の組成因子の個数にどのように影響するか？
• RQ5 群 $ G $ が絶対的単純である場合や、中心的積および射影を考慮する場合、上界を改善できるか？

主な発見

• 完全可約部分群 $ G \leq \mathrm{GL}(d, q) $ において、$ r $ 個の既約成分をもつとき、位数 $ p $ の組成因子の個数は、$ \varepsilon_q $ を $ p $ と $ f $ に基づいて定義した上で、$ \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ 以下である。
• 上記の上界は、すべての素数べき $ q $ に対して無限回にわたって達成可能であり、$ \varepsilon_q $ を改善することはできない。
• $ p = 2 $ かつ $ f $ が偶数のとき、$ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $ であり、この値は最適である。
• フェルマー素数 $ p $ の場合、$ \varepsilon_q = \frac{p}{p-1} $ であり、これは最良の選択である。
• それ以外のすべての $ q $ に対して $ \varepsilon_q = 1 $ であり、上界 $ \frac{d - r}{p - 1} $ は無限に多くの場合にタイトである。
• 系9は、$ G/O_p(G) $ への結果の拡張を示し、$ c_p(G/O_p(G)) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p - 1} $ を示しており、ここで $ r $ は自然モジュールの組成系列における組成因子の個数である。