[論文レビュー] The number of equivalent realisations of a rigid graph

Bill Jackson, J. C. Owen|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Structural Analysis and Optimization参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ℝ²における剛体グラフの一般的実現の等価な複素実現の数を調査し、その数を c(G) と表記する。c(G) が特定の一般的実現に依存せず、グラフの構造にのみ依存することを証明している。c(G) が特定のグラフ操作によって保存されることを示し、c(G) = 1 となるグラフを同定し、n 頂点の平面的等剛性グラフが少なくとも 2^{n-3} 個の互いに等価な実実現を持つことを示している。

ABSTRACT

Given a rigid realisation of a graph $G$ in ${\mathbb R}^2$, it is an open problem to determine the maximum number of pairwise non-congruent realisations which have the same edge lengths as the given realisation. This problem can be restated as finding the number of solutions of a related system of quadratic equations and in this context it is natural to consider the number of solutions in ${\mathbb C}^2$ rather that ${\mathbb R}^2$. We show that the number of complex solutions, $c(G)$, is the same for all generic realisations of a rigid graph $G$, characterise the graphs $G$ for which $c(G)=1$, and show that the problem of determining $c(G)$ can be reduced to the case when $G$ is $3$-connected and has no non-trivial $3$-edge-cuts. We consider the effect of the Henneberg moves and the vertex-splitting operation on $c(G)$. We use our results to determine $c(G)$ exactly for two important families of graphs, and show that the graphs in both families have $c(G)$ pairwise equivalent generic real realisations. We also show that every planar isostatic graph on $n$ vertices has at least $2^{n-3}$ pairwise equivalent real realisations.

研究の動機と目的

• ℝ²における剛体グラフの一般的実現に等価な複素実現の数を特定すること。
• この数、c(G) が、与えられた剛体グラフ G のすべての一般的実現に対して同一であることを示すこと。
• c(G) = 1 となるグラフを同定し、ℂ²における一意な一般的実現を示すこと。
• ヘンバーグ移動や頂点分割といった標準的グラフ操作が c(G) に与える影響を分析すること。
• 特に平面的等剛性グラフを含む特定のグラフ族に対して、互いに等価な実実現の数の下界を確立すること。

提案手法

• ℝ²における2次方程式系として問題を定式化し、ℂ²における複素解を検討することで、整合的な上界を得る。
• 剛体グラフ G に対して、c(G)（複素解の数）が一般的実現の選択に依存しないことを証明する。
• 特にタイプ1およびタイプ2のヘンバーグ移動と頂点分割を用いたグラフ理論的操作により、c(G) の構造的変化を分析する。
• 非自明な3辺カットをもたない3連結グラフに問題を還元し、分析を簡略化する。
• 2組の頂点または3本の辺を介したグラフの接合に関する結果を応用し、部分グラフ G₁, G₂ の c(G₁), c(G₂) から c(G) を計算する。
• 複素共役とミンコフスキー実現を用いた偶奇性の議論により、実解の構造とその個数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛体グラフの一般的実現に等価な複素実現の数は、実現の選択に依存しないか？
• RQ2 どのグラフ G に対して c(G) = 1 が成り立ち、ℂ²における一意な一般的実現が存在するか？
• RQ3 ヘンバーグ移動や頂点分割といった標準的グラフ操作は、c(G) の値にどのように影響するか？
• RQ4 n 頂点の平面的等剛性グラフがもつ互いに等価な実実現の最小数は何か？
• RQ5 一般的実現において、実実現の数 r(G,p) が複素実現の数 c(G) に等しくなることは可能か？

主な発見

• 剛体グラフ G のすべての一般的実現に対して、複素実現の数 c(G) は同一であり、これはグラフ不変量である。
• c(G) = 1 であることは、G が ℝ² でグローバルに剛体であることと同値であり、一意な実現の特徴付けを複素設定に拡張する。
• タイプ1ヘンバーグ移動では c(G) が2倍に増加するが、冗長な辺に対してタイプ2ヘンバーグ移動を行うと c(G) は保存される。
• G が等剛性であるとき、頂点分割操作により c(G) は少なくとも2倍に増加し、この下限は互いに等価な実実現の数に対しても成立する。
• すべての平面的等剛性グラフは、n 頂点に対して少なくとも 2^{n-3} 個の互いに等価な一般的実実現を持つ。
• 2次方程式で解けるグラフ族や、剛性マトロイドが連結であるグラフ族においては、c(G) は正確に計算可能であり、すべての c(G) 個の実現は互いに等価である。