[論文レビュー] The number of geometrically distinct reversible closed geodesics on a Finsler sphere with $K\equiv 1$

Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、定数フラッグ曲率 $K \equiv 1$ で、素閉じじゅん曲線が有限個であるFinsler球面上の幾何学的に異なる可逆な閉じじゅん曲線の数を調査する。Lie群作用、等長変換の固定点集合、および等長的モーレー理論を用いて、このような曲線の数が、等長群の単位成分の次元以上であることを証明する。この次元が最大値 $[\frac{n+1}{2}]$ に達する場合、幾何学的に異なる閉じじゅん曲線の数は正確に $2[\frac{n+1}{2}]$ であり、この場合にアノソフ予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper we study the Finsler sphere $(S^n,F)$ with $n>1$, which has constant flag curvature $K\equiv 1$ and only finite prime closed geodesics. In this case, the connected isometry group $I_0(S^n,F)$ must be a torus which dimension satisfies $0

研究の動機と目的

• 定数フラッグ曲率 $K \equiv 1$ で、素閉じじゅん曲線が有限個であるFinsler球面上の幾何学的に異なる可逆な閉じじゅん曲線の最小数を特定すること。
• この曲率および有限性の条件下で、連結等長群 $I_0(S^n, F)$ の構造を調査すること。
• 等長群の次元が最大である特別な場合に、少なくとも $2[\frac{n+1}{2}]$ 個の素閉じじゅん曲線が存在するというアノソフ予想を検証すること。
• カトック計量のような例において、$2[\frac{n+1}{2}]$ 個の素閉じじゅん曲線の正確な数がどのように得られるかを、幾何学的・位相的観点から説明すること。

提案手法

• 各点を距離 $\pi$ だけ動かす反対称写像 $\psi$ としてのクラッファード＝ウルフ移動として作用する反対称写像 $\psi$ を用いて、$K \equiv 1$ であるFinsler球面の幾何を分析する。
• 固定点集合理論を適用して等長変換の作用を研究し、非自明な等長変換の固定点集合が、2点からなる $\psi$-軌道、または $K \equiv 1$ を満たす完全測地的部分多様体であることを示す。
• 等長的モーレー理論とLeray-Serreスペクトル系列を用いて、球面の $T$-等長的コホモロジーを計算し、$T$-等長的オイラー特徴量の計算に至る。
• 等長群 $I_0(S^n, F)$ が高々 $[\frac{n+1}{2}]$ 次元のトーラスであるという構造を用い、この次元が最大に達する場合、すべての閉じじゅん曲線が可逆的であり、幾何学的に異なるものの総数が正確に $[\frac{n+1}{2}]$ であることを証明する。
• 特に $\psi^k$ の固定点集合に対して、帰納法と次元数え上げの議論を用いて、最大の場合にそれ以上の閉じじゅん曲線が存在しないことを除外する。
• 多様体 $M$ に対する $T$-等長的ポincare多項式 $P_T(M;\mathbb{R},t)$ が $t^2$ の多項式であるという事実を用いて、$n$ が奇数のとき $T$-等長的オイラー特徴量 $\chi_T(M;\mathbb{R})$ が $[\frac{n+1}{2}]$ に等しいことを導出し、偶数 $n$ に対しても方向を反転させる等長変換を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数フラッグ曲率 $K \equiv 1$ で、素閉じじゅん曲線が有限個であるFinsler球面上の幾何学的に異なる可逆な閉じじゅん曲線の最小数は何か？
• RQ2 等長群 $I_0(S^n, F)$ の単位成分の次元は、このような曲線の数にどのような制約を課えるか？
• RQ3 幾何学的に異なる閉じじゅん曲線の数が正確に $2[\frac{n+1}{2}]$ に達するのはどのような条件下か？この数がなぜ重要なのか？
• RQ4 等長群が最大である場合に、Finsler球面に対してアノソフ予想を検証できるか？
• RQ5 特に $\psi^k$ に対する等長変換の固定点集合は、このような球面上の閉じじゅん曲線の分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 定数フラッグ曲率 $K \equiv 1$ で、素閉じじゅん曲線が有限個であるFinsler球面上の幾何学的に異なる可逆な閉じじゅん曲線の数は、等長群の単位成分の次元 $\dim I_0(S^n, F)$ 以上である。
• 等長群の単位成分の次元が $[\frac{n+1}{2}]$ に達する場合、幾何学的に異なる閉じじゅん曲線の数は正確に $[\frac{n+1}{2}]$ であり、すべての閉じじゅん曲線が可逆的である。
• この最大の場合における素閉じじゅん曲線の総数は $2[\frac{n+1}{2}]$ であり、このクラスのFinsler球面に対してアノソフ予想が裏付けられる。
• 反対称写像 $\psi$ の固定点集合は、$n = 2n'$ が偶数のとき、次元 $2n' - 1$ の完全測地的部分多様体であり、同じ曲率と有限性条件を引き継ぐ。
• $n'$ 個の生成子に含まれない閉じじゅん曲線の存在は、次元の偶奇性と固定点集合の構造に基づいて矛盾を引き起こし、等長群が最大である場合、このような曲線が存在できないことを証明する。
• $T$-等長的オイラー特徴量 $\chi_T(M;\mathbb{R})$ は $[\frac{n+1}{2}]$ に等しく、Leray-Serreスペクトル系列を用いて計算され、これは奇数次元の場合の幾何学的に異なる閉じじゅん曲線の数と一致する。