[論文レビュー] The number of Latin rectangles

Peter G. Doyle|ArXiv.org|Mar 29, 2007

Algorithms and Data Compression参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$k$-行ラテン方陣の個数を、$k-1$ 個の要素からなる集合の集合分割の格子上でモービウス逆転を用いた包含除算法を用いて一般化する手法を提示する。この手法により、Ryserの交換の公式を一般化し、$k$-行ラテン方陣の縮約形の個数 $R_k(n)$ を求める式が得られる。この式を評価するには、$k$ に関して指数的に増加する $n^{(2^{k-1})}$ 個の算術演算が必要となる。このアプローチは、$(k-1)$-要素集合の集合分割の格子におけるモービウス逆転を利用している。

ABSTRACT

We show how to generate an expression for the number of k-line Latin rectangles for any k. The computational complexity of the resulting expression, as measured by the number of additions and multiplications required to evaluate it, is on the order of n^(2^(k-1)). These expressions generalize Ryser's formula for derangements.

研究の動機と目的

• 任意の固定された $k$ に対して、$n$ を変数とみなして $k$-行ラテン方陣の個数の閉形式の式を導出すること。
• Ryserの交換の公式を高次元のラテン方陣に一般化すること。
• $k$-行ラテン方陣の個数を評価する際の計算量を特定すること。
• $R_k(n)$ の式は存在し、計算可能ではあるが、$k$ が大きくなるとその複雑さが急激に増加し、実用的でないことを示すこと。

提案手法

• 縮約された孤独ホール構成要素の包含除算法を適用して、$k$-行ラテン方陣を数える。
• $(k-1)$-要素集合の分割格子上でモービウス逆転を用い、コアの生成関数 $g_k$ を導出する。
• $\sum s_{\sigma} = n$ を満たす非負整数解 $s_{\sigma}$ に関する多変数和として $R_k(n)$ を表現する。ここで $\sigma$ は $\{1,\dots,k-1\}$ の部分集合を走る。
• 分割格子における包含除算法を再帰的に用いて、関数 $g_k(\mathbf{t})$ を定義する。このとき、部分和 $f_I$ の積を含む項が現れる。
• すべての $s_{\sigma}$ についての和として最終的な式を構成する。この際、多項係数と $g_k(\mathbf{t})$ の累乗を、符号が交互に変わる係数で重みづける。
• 非縮約形のラテン方陣の個数を復元するため、$L_k(n) = n! \cdot R_k(n)$ の恒等式を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された $k$ に対して、$k$-行ラテン方陣の個数を一般化した公式を導出できるか？
• RQ2 この公式の評価における計算量は $n$ の関数としてどの程度か？
• RQ3 包含除算法の構造は、$(k-1)$-要素集合の集合分割の格子とどのように関係しているか？
• RQ4 なぜ縮約形のラテン方陣の定式化が一般の場合よりも取り扱いやすいのか？
• RQ5 $k$ と $n$ の両方の依存関係を、指数的爆発を避けて一度に表す $L_k(n)$ の単一の式を書くことは可能か？

主な発見

• 縮約された $k$-行ラテン方陣の個数 $R_k(n)$ は、$n$ に合計する非負整数の $(2^{k-1} - 1)$ 重和として表現可能であり、各項には多項係数と関数 $g_k$ の累乗が含まれる。
• 評価するにあたり、$R_k(n)$ の計算量は $n^{(2^{k-1})}$ 個の加算および乗算のオーダーである。
• $k=2$ の場合、この公式はRyserが知っている交換の公式に簡略化される。
• $k=3$ の場合、式は $s_{00}, s_{10}, s_{01}, s_{11}$ の4つの変数に関する和を含み、関数 $g_3(t_{00}, t_{10}, t_{01}, t_{11}) = f_1 f_2 - f_{1,2}$ となる。ここで $f_1 = t_{00} + t_{01}$、$f_2 = t_{00} + t_{10}$、$f_{1,2} = t_{00}$ である。
• $k=4$ の場合、式は $s_{\sigma}$ の8つの変数に関する和を含み、$g_4(\mathbf{t}) = f_1 f_2 f_3 - f_{1,2} f_3 - f_{2,3} f_1 - f_{1,3} f_2 + 2f_{1,2,3}$ となる。これは3要素集合の分割格子におけるモービウス逆転を反映している。
• 非縮約形の $L_k(n)$ の公式は、より高い計算量を要し、およそ $n^{(2^k)}$ 個の演算が必要となる。これは、縮約形のケースに比べて著しく非効率である。