[論文レビュー] The number of non-solutions to an equation in a group and non-topologizable torsion-free groups

Anton A. Klyachko, А. В. Трофимов|ArXiv.org|Nov 7, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限生成で、ねじれがなく、非位相化可能な群 $H$ と、$H$ 上の式 $w(x) = 1$ を構成し、その解はちょうど1つの元（単位元）を除き、すべての他の元が解であることを示している。さらに、任意の2つの無限基数 $f s$ と $f n$ に対して、解がちょうど $f s$ 個で、非解が $f n$ 個であるような群 $G$ と式が存在することを証明し、群論における非位相化可能な群と式の解に関する問題を解決している。

ABSTRACT

It is shown that, for any pair of cardinals with infinite sum, there exist a group and an equation over this group such that the first cardinal is the number of solutions to this equation and the second cardinal is the number of non-solutions to this equation. A countable torsion-free non-topologizable group is constructed.

研究の動機と目的

• P. I. Kirkuが提起した非離散群位相に関する問題に答え、可算でねじれがなく、非位相化可能な群を構成すること。
• 任意の無限基数のペア $\bf s$ と $\bf n$ に対して、解がちょうど $\bf s$ 個で、非解が $\bf n$ 個であるような群と式が存在することを示すこと。
• 群の1つの元の補集合が、1つの式の非解集合であることを示し、これは最も単純な形でのこのような分解であることを示すこと。
• Ol’shanskiiの階層的提示法を拡張し、式の解集合が所定の性質を持つ群を構成すること。

提案手法

• 増加するランクの関係式を用いた階層的提示により、語と共役類の構造を制御するための特定の小キャンセレーションに類似した条件（R1–R6）を満たす群 $H$ を構成する。
• 自由群の生成元 $a$ と $b$ における語 $v(x)$ を定義し、$v(1) \neq 1$ となる群 $H$ を構成することで、単位元が重要な式の解でないことを保証する。
• 特定の式 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$ を $H$ 上に導入し、群論的議論と共役の制御を用いて、その解集合が $H \setminus \{1\}$ であることを証明する。
• 補題1を用いて、$\langle a\rangle$ や $\langle b\rangle$ に属さない元がすべて解であることを保証し、$a$、$b$、$c_1$ が真の冪でない性質を用いて、単位元が解でないことを除外する。
• 超べきとLöwenheim–Skolemの定理を用いて、有限生成性を任意の無限基数に拡張する。
• 自由積と直積を組み合わせることで、解の基数 $f s$ と非解の基数 $f n$ が任意の無限基数であるような群における式の解集合を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれがなく、非位相化可能な群において、1つの元の補集合が単一の式の非解集合であるような群が存在するか？
• RQ2 群における式の解集合と非解集合の基数の可能なペアは何か？
• RQ3 解集合がコ・シンプル（すなわち、1つの元を除いてすべての元が解）であるような群を構成することは可能か？
• RQ4 群における式の解集合が任意の無限基数を取り得るか。また、非解集合も任意の無限基数を取り得るか？
• RQ5 階層的提示をどのように用いて、特定の構造的性質を持つ群における式の解集合を制御できるか？

主な発見

• 有限生成で、ねじれがなく、非位相化可能な群 $H$ が存在し、式 $w(x) = 1$ の非解はちょうど1つ（単位元）である。
• 任意の2つの無限基数 $f s$ と $f n$ に対して、サイズが $f s + n$ である群 $G$ と、解がちょうど $f s$ 個で、非解が $f n$ 個である式 $u(x) = 1$ が存在する。
• $H$ 上の式 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$ の解集合は $H \setminus \{1\}$ である。これは主要定理の証明である。
• 構成は、厳密な小キャンセレーション条件（R1–R6）を満たす関係式を備えた階層的提示に依存しており、共役と語長の制御が保証されている。
• 生成元と関係式の構造を用いて、群 $H$ がねじれがなく、真の冪でない性質を示すことで、ねじれのないことを証明する。
• この結果により、可算群における1つの元の補集合が、単一の式の非解集合であることが示され、これは最小限のこのような分解である。